GéométrieNotion · Glossaire
carré des ombres
Le carré des ombres est un instrument trigonométrique généralement gravé au dos d'un astrolabe. Il se compose de deux graduations verticales appelées ombre verse, encadrant une double graduation horizontale appelée ombre droite. Lorsque la graduation et le quotient choisis comparent l'élévation à la distance horizontale, l'instrument fournit directement la tangente de l'angle de visée ; l'autre lecture peut en donner le rapport réciproque. Il permet ainsi de déterminer rapidement des longueurs inaccessibles — telle la hauteur d'une tour ou d'une colline — sans avoir recours à des calculs trigonométriques explicites.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les graduations d’ombre droite et d’ombre verse.
- Relier la lecture du carré à la tangente d’un angle de visée.
- Calculer une hauteur à partir d’une distance horizontale et de la hauteur de l’œil.
- Repérer une inversion de rapport et les configurations de mesure instables.
En clair
Imaginez que vous visiez le sommet d’une tour avec l’alidade d’un astrolabe. Au dos de l’instrument, le carré des ombres transforme l’inclinaison de cette visée en un rapport que l’on lit sur deux graduations perpendiculaires. L’objet rend ainsi visible la pente du regard.
Ce rapport compare la montée de la ligne de visée à une distance horizontale. Une mesure de cette distance suffit alors pour retrouver la différence de hauteur, sans commencer par déterminer l’angle.
Définition
Le carré des ombres est un instrument trigonométrique généralement gravé au dos d’un astrolabe. Deux graduations verticales, dites ombre verse, encadrent une double graduation horizontale, dite ombre droite. La position de la ligne de visée sur ces échelles code un rapport entre les deux côtés perpendiculaires d’un triangle rectangle.
On note α l’angle formé par la visée avec l’horizontale et r le rapport lu dans la convention choisie sur l’instrument. Lorsque r compare l’élévation verticale à la distance horizontale, il donne la tangente de l’angle : . Les triangles semblables permettent ensuite d’appliquer ce même rapport à la distance réelle.
La mesure obtenue est d’abord le dénivelé entre l’œil de l’observateur et le point visé. Pour obtenir la hauteur totale d’un objet posé au même niveau que l’observateur, il faut encore ajouter la hauteur de l’œil. Les appellations ombre droite et ombre verse repèrent les graduations ; avant tout calcul, il faut vérifier quel quotient correspond à la lecture effectuée.
Un exemple, pas à pas
Une personne vise le sommet d’une tour depuis un sol horizontal. La distance horizontale jusqu’au pied de la tour est de 24 m. Son œil est à 1,6 m du sol. Sur une échelle divisée en 12 parts, la visée donne une élévation de 6 parts : le rapport lu est donc 6 sur 12.
1. On note α l’angle de visée. Le carré donne le rapport : .
2. On note h le dénivelé entre l’œil et le sommet. Les triangles semblables donnent : .
3. On note H la hauteur totale de la tour. On ajoute la hauteur de l’œil : .
2. On note h le dénivelé entre l’œil et le sommet. Les triangles semblables donnent : .
3. On note H la hauteur totale de la tour. On ajoute la hauteur de l’œil : .
Dans ce modèle, la tour mesure donc 13,6 m. Un contrôle refaisable consiste à retirer 1,6 m puis à diviser les 12 m restantes par 24 m : on retrouve 0,5, soit le rapport 6 sur 12 lu sur le carré.
En pratique
Pour estimer une hauteur inaccessible, l’observateur mesure une distance horizontale accessible, vise le sommet, lit le rapport sur le carré puis ajoute la hauteur de son œil. Cette procédure convient lorsque le pied et le sommet sont visibles et que le terrain permet d’établir une distance horizontale.
Pour une colline ou un point dont le pied n’est pas accessible, une seule visée ne fournit pas forcément toutes les données nécessaires. Deux visées depuis des positions connues, ou une autre méthode de mesure, deviennent préférables lorsque la distance horizontale au pied manque.
Le carré évite de convertir d’abord la visée en angle : la graduation livre directement un rapport de longueurs. Un calcul trigonométrique moderne reste utile si l’on dispose déjà d’un angle numérique plutôt que de la lecture du carré.
À ne pas confondre
Le carré des ombres et l’astrolabe entier. Le premier est une graduation trigonométrique portée au dos du second. Une mesure fondée sur les deux échelles perpendiculaires concerne le carré ; les autres éléments et usages de l’instrument relèvent de l’astrolabe dans son ensemble.
L’ombre géométrique et l’ombre projetée. Ici, les mots ombre droite et ombre verse nomment des graduations qui codent un rapport. Si l’on mesure au sol la trace sombre produite par un objet éclairé, on emploie une ombre physique, pas nécessairement le carré des ombres.
Limites et pièges
Distance mal interprétée. Le calcul demande la distance horizontale, non la distance parcourue sur une pente. Si le terrain monte ou descend, il faut ramener la mesure à l’horizontale ou utiliser une méthode qui tient compte du dénivelé.
Hauteur de l’œil oubliée. La visée donne l’écart vertical entre l’œil et le sommet. Dans l’exemple, s’arrêter à 12 m au lieu d’ajouter 1,6 m sous-estime la hauteur totale de la tour.
Rapport inversé. Les deux graduations correspondent à des lectures réciproques. Si la lecture 6 sur 12 est remplacée par 12 sur 6, le rapport passe de 0,5 à 2 et le résultat est quadruplé. Il faut identifier l’échelle et le quotient avant de multiplier.
Visée presque verticale. Lorsque l’angle s’approche de 90° par valeurs inférieures, la tangente augmente sans borne et une petite erreur de visée produit une grande variation du résultat. Il faut alors s’éloigner de l’objet ou employer une configuration de mesure plus stable.
Illustrations
Pour aller plus loin
Le glossaire astrolabe situe le carré des ombres dans l’ensemble de l’instrument qui le porte.
L’article L'astrolabe planisphérique approfondit l’instrument complet dans son cas planisphérique.
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