Courbe intégrale

Imaginez un plan couvert de petits segments qui indiquent chacun une direction. Une courbe intégrale suit ces indications : en tout point traversé, sa pente coïncide avec celle que l’équation différentielle impose à cet endroit.

Un point de départ fixe généralement une trajectoire locale unique lorsque la fonction qui donne les pentes est assez régulière. Changer ce point peut produire une autre courbe de la même famille.

On considère une équation différentielle ordinaire dans laquelle la variable indépendante est notée x, la fonction inconnue est notée y et la fonction prescrivant la pente est notée f. Elle s’écrit $y^{\mathrm{\prime }}=f(x,y)y\text{'}=f(x,y)$. Une courbe intégrale est le graphe d’une solution y définie sur un intervalle : en chacun de ses points d’abscisse x, sa tangente a pour pente f(x, y(x)).

Imposer le passage par un point de coordonnées (x₀, y₀) revient à ajouter la condition y(x₀) = y₀. Sous les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz — notamment une continuité suffisante et une dépendance localement lipschitzienne de f par rapport à y — il existe une unique solution dans un voisinage de x₀. Cette garantie est locale : la solution peut ensuite se prolonger sur un intervalle maximal, qui n’est pas nécessairement toute la droite réelle.

La famille des courbes obtenues pour différentes conditions initiales décrit l’organisation des solutions. Pour une équation autonome ou un système autonome, cette organisation est usuellement représentée par un portrait de phase.

On rencontre une courbe intégrale dans un repère où l’axe horizontal porte la variable x et l’axe vertical la valeur y(x). Le dessin montre une courbe continue, un point initial éventuel et parfois un champ de petits segments inclinés. La tangente à la courbe s’aligne avec le segment du champ situé au même point. Plusieurs tracés peuvent apparaître : ils correspondent à des conditions initiales différentes pour une même équation.

Ce support porte donc deux informations liées : la valeur de la solution à chaque abscisse et la pente que l’équation lui impose.

La grandeur principale à lire est la valeur y(x), tandis que la tangente renseigne sur sa dérivée. 1. Repérez l’abscisse x et l’ordonnée du point étudié. 2. Évaluez la pente de la tangente dans le sens des x croissants. 3. Calculez f avec les coordonnées du point. 4. Vérifiez que les deux pentes concordent.

L’échelle des deux axes compte : une même pente mathématique paraît plus ou moins raide si les unités graphiques diffèrent. Le bon réflexe consiste à comparer des variations lues dans les unités du repère, et non l’angle apparent sur la page. Dans l’exemple y′ = y, la courbe rouge passe par (0, 1) et sa tangente en ce point a une pente égale à 1.

On cherche la courbe intégrale de l’équation y′ = y qui passe par le point (0, 1). Les données sont l’équation y′ = y, l’abscisse initiale x₀ = 0 et la valeur initiale y₀ = 1.

1. Une fonction candidate est l’exponentielle : $y(x)=e^{x}y(x)=e^x$.

2. Sa dérivée vaut $y^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x}y\text{'}(x)=e^x$. Comme y(x) vaut aussi e^x, l’égalité y′ = y est satisfaite pour tout réel x.

3. À l’abscisse 0, on obtient y(0) = e⁰ = 1 : la courbe passe bien par le point imposé.

4. Le contrôle local donne y′(0) = 1. La tangente au point (0, 1) a donc pour équation y = x + 1, ce que le tracé permet de vérifier. La solution est définie sur toute la droite réelle ; son intervalle maximal est donc ℝ.

Pour vérifier une solution proposée, on dérive son expression puis on compare y′(x) à f(x, y(x)). Cette vérification exacte est préférable à la seule ressemblance du tracé avec le champ de pentes.

Pour résoudre un problème avec une valeur initiale, on sélectionne la courbe qui passe par le point imposé. Si aucune formule explicite n’est accessible, une méthode numérique construit des valeurs approchées ; on la préfère alors au tracé à main levée, avec un pas et une précision annoncés.

Pour comparer plusieurs conditions initiales, on observe la famille des courbes. Des trajectoires qui se rapprochent, s’éloignent ou rencontrent une frontière du domaine renseignent sur le comportement global que la seule solution particulière ne montre pas.

Champ de directions. Il associe une pente à chaque point du plan, tandis qu’une courbe intégrale est une trajectoire qui suit ces pentes. Dans y′ = y, les petits segments constituent le champ ; le graphe y = e^x est une courbe intégrale.

Graphe d’une fonction quelconque. Tout graphe possède des tangentes lorsqu’il est dérivable, mais il n’est intégral pour l’équation considérée que si sa pente vérifie y′(x) = f(x, y(x)) à chaque abscisse de son intervalle.

Courbe de niveau. Une courbe de niveau rassemble les points où une fonction de deux variables garde une valeur constante. Une courbe intégrale suit au contraire un champ de directions ; le critère porte sur sa tangente.

Existence locale seulement. Cauchy-Lipschitz garantit une courbe dans un voisinage du point initial, pas nécessairement pour toute valeur de x. Si la solution diverge ou atteint la frontière du domaine de f en temps fini, il faut donner son intervalle maximal plutôt que prolonger le dessin.

Unicité non automatique. Si la dépendance de f en y n’est pas localement lipschitzienne, plusieurs courbes peuvent passer par le même point. Il faut alors étudier séparément l’existence et l’unicité au lieu de choisir une branche sur le graphique.

Pente verticale. La forme y′ = f(x, y) décrit localement y comme une fonction de x et suppose une pente finie là où f est définie. Une trajectoire comportant une tangente verticale peut demander une autre paramétrisation ou une équation différentielle sous une autre forme.

Portrait de phase. Pour une équation non autonome, le plan (x, y) mêle le temps ou la variable indépendante à l’état. Le terme s’emploie plus strictement pour les systèmes autonomes dans l’espace des états ; il faut préciser le repère représenté.

L’article Ma première équation différentielle prolonge cette lecture en montrant comment une équation relie une fonction inconnue à ses variations.

Une étape suivante consiste à étudier l’intervalle maximal d’une solution, puis la manière dont plusieurs courbes intégrales organisent le comportement global d’un système autonome.