cubique de Weierstrass

Tracez la courbe d’équation y² = x³ − x + 1 et placez le point P de coordonnées (0 ; 1). Une droite tangente à la courbe en P la rencontre encore en un autre point. En réfléchissant ce point par rapport à l’axe horizontal, on obtient un nouveau point de la courbe.

Une cubique de Weierstrass organise précisément ce dessin. Lorsque la courbe n’a ni pointe ni croisement, cette construction géométrique devient une addition entre ses points, avec un point à l’infini comme élément neutre.

Une cubique de Weierstrass est une courbe plane donnée, sur un corps choisi, par cinq coefficients notés a₁, a₂, a₃, a₄ et a₆. Les coordonnées d’un point sont notées x et y. L’équation générale est : $y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_{6}y^2+a\_1xy+a\_3y=x^3+a\_2x^2+a\_4x+a\_6$. Son degré total est 3, car le terme de plus haut degré est x³.

Cette équation fournit un modèle de courbe elliptique seulement lorsque la cubique est non singulière, c’est-à-dire dépourvue de point où les deux dérivées partielles s’annulent simultanément. Le discriminant de l’équation doit alors être non nul. On complète la courbe par un point à l’infini. Une sécante coupe la cubique en un troisième point, compté avec multiplicité. Si ses coordonnées sont (x ; y), son opposé est (x ; −y − a₁x − a₃) ; cet opposé donne la somme des deux premiers points. Une tangente traite le cas où ils coïncident.

Lorsque les coefficients et les coordonnées appartiennent au corps des rationnels, les points obtenus sont dits rationnels. Ils forment un groupe avec le point à l’infini. Dans un corps dont la caractéristique n’est ni 2 ni 3, un changement de variables conduit souvent à la forme courte y² = x³ + Ax + B. La forme générale reste nécessaire dans les caractéristiques 2 ou 3.

On travaille sur les nombres rationnels avec la forme courte y² = x³ + Ax + B. Les données sont A = −1, B = 1 et le point P = (0 ; 1). On veut vérifier que la courbe est elliptique, puis calculer le double de P par la tangente.

1. On remplace x par 0 et y par 1 : 1² = 0³ − 0 + 1 = 1. Le point P appartient donc à la courbe.

2. Pour une forme courte, le discriminant vaut $\mathrm{\Delta }=-16(4A^3+27B^2)\backslash Delta=-16\backslash left(4A^3+27B^2\backslash right)$. Ici, Δ = −16(−4 + 27) = −368. Comme ce nombre est non nul, la cubique n’est pas singulière.

3. La pente de la tangente en P vaut $m=\frac{3x_P^2+A}{2y_P}=-\frac{1}{2}m=\backslash frac\{3x\_P^2+A\}\{2y\_P\}=-\backslash frac12$. La troisième intersection est S = (1/4 ; 7/8). Sa réflexion par rapport à l’axe horizontal donne 2P = (1/4 ; −7/8).

4. Le contrôle se refait sans le dessin : (−7/8)² = 49/64 et (1/4)³ − 1/4 + 1 = 1/64 − 16/64 + 64/64 = 49/64. Le point 2P est bien rationnel et appartient à la même courbe.

En géométrie algébrique, on met une courbe elliptique sous forme de Weierstrass pour disposer d’une équation plane et de coefficients explicites. Avant d’utiliser la loi de groupe, on contrôle que le discriminant n’est pas nul ; sinon, il faut traiter une cubique singulière.

En théorie des nombres, on teste des coordonnées rationnelles dans l’équation, puis on applique les formules de sécante ou de tangente. Une simple recherche de points ne suffit pas à décrire leur groupe ; l’addition révèle les relations entre eux.

En cryptographie, la forme de Weierstrass fournit l’équation et la loi de groupe nécessaires aux calculs sur les points. Le modèle et les coefficients doivent être ceux du système considéré : choisir une cubique arbitraire ne garantit ni régularité ni propriétés cryptographiques adaptées.

Cubique plane et courbe elliptique. Une équation de degré 3 définit une cubique plane, mais pas automatiquement une courbe elliptique. Le critère qui tranche est la non-singularité : sur ℚ, pour y² = x³ − x + 1, le discriminant −368 est non nul, donc le modèle est elliptique.

Équation cubique et cubique de Weierstrass. Une équation cubique en une inconnue, comme x³ − x + 1 = 0, demande des racines. La cubique de Weierstrass relie deux coordonnées x et y et décrit une courbe plane ; son degré total vaut 3.

Discriminant nul. Si Δ = 0, la courbe présente une singularité et la construction de groupe elliptique ne s’applique plus telle quelle. Il faut d’abord identifier la singularité et étudier la cubique singulière avec des outils adaptés.

Forme courte hors de son domaine. La réduction générale d’une équation de Weierstrass à l’écriture courte y² = x³ + Ax + B suppose que la caractéristique du corps n’est ni 2 ni 3. Dans ces deux caractéristiques, cette réduction n’est pas valable en général : il faut alors conserver les termes nécessaires de la forme générale.

Tangente verticale. La formule de pente utilisée pour doubler P contient 2y_P au dénominateur. Si y_P = 0 dans la forme courte, cette division est impossible : la tangente est verticale et le double est le point à l’infini.

Dessin réel et points rationnels. Le tracé montre des points à coordonnées réelles, sans indiquer lesquels sont rationnels. Pour conclure, il faut donner des fractions et les substituer dans l’équation, comme pour P et 2P dans l’exemple.

La fiche courbe elliptique prolonge le modèle de Weierstrass par les propriétés de la courbe et de sa loi de groupe.

La fiche cryptographie replace les calculs sur les points parmi les méthodes destinées à protéger et transmettre l’information.