AnalyseNotion · Glossaire
Différences divisées
Pour une fonction connue en des points distincts, les différences divisées se définissent récursivement : à l’ordre zéro, elles valent les valeurs de la fonction ; à chaque ordre suivant, on soustrait deux différences d’ordre précédent et l’on divise par l’écart entre les abscisses extrêmes. Elles fournissent les coefficients du polynôme d’interpolation de Newton, calculables efficacement dans un tableau triangulaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire et calculer un tableau triangulaire de différences divisées.
- Construire le polynôme de Newton à partir de trois points.
- Vérifier le polynôme obtenu sur toutes les abscisses données.
- Distinguer différence divisée, différence finie, dérivée et forme de Lagrange.
- Repérer les difficultés liées aux nœuds répétés, rapprochés ou utilisés pour extrapoler.
En clair
Imaginez trois points d'une courbe dont on connaît seulement les coordonnées : (0, 0), (1, 1) et (2, 4). Entre les deux premiers, la valeur monte de 1 par unité horizontale. Entre les deux suivants, elle monte de 3.
Les différences divisées comparent ces variations, puis comparent leurs résultats. On obtient ainsi des coefficients qui assemblent un polynôme passant exactement par les points donnés. Un tableau triangulaire range les calculs sans recommencer depuis le début.
Définition
Soit une fonction f connue en n + 1 abscisses distinctes, notées x0, x1, …, xn. La différence divisée d'ordre zéro au point xi est la valeur f(xi). Pour un entier k compris entre 1 et n, la différence divisée d'ordre k sur k + 1 points se calcule récursivement :
Le dénominateur explique pourquoi les abscisses doivent être distinctes. Les valeurs d'ordre zéro forment la première colonne d'un tableau triangulaire ; chaque nouvelle colonne utilise deux valeurs voisines de la précédente. Les coefficients situés sur une diagonale construisent alors le polynôme de Newton Pn : . Ce polynôme, de degré au plus n, prend les valeurs prescrites aux n + 1 abscisses.
Un exemple, pas à pas
Construisons le polynôme de Newton associé à la fonction f(x) = x2 aux trois abscisses x0 = 0, x1 = 1 et x2 = 2. Les valeurs données sont f(0) = 0, f(1) = 1 et f(2) = 4.
1. À l'ordre zéro, inscrivons 0, 1 et 4 dans la colonne des valeurs.
2. Les deux différences divisées d'ordre un valent et .
3. La différence d'ordre deux vaut . Le tableau triangulaire rassemble ces trois niveaux et met en évidence les coefficients 0, 1 et 1.
4. Assemblons-les : . Le contrôle est direct : P2(0) = 0, P2(1) = 1 et P2(2) = 4. Le polynôme retrouve bien chacune des trois données.
En pratique
Quand des valeurs sont connues en plusieurs abscisses, le tableau des différences divisées fournit directement les coefficients de la forme de Newton. Si l'on veut seulement évaluer le polynôme en un point, cette forme évite de développer tous ses produits.
Quand une nouvelle abscisse et sa valeur sont ajoutées à la fin de l'ordre choisi, on prolonge le tableau par une ligne et l'on calcule les nouvelles différences à tous les ordres nécessaires, jusqu'à l'unique nouveau coefficient d'ordre maximal. Une forme déjà développée demanderait au contraire de recalculer ses coefficients usuels.
Pour contrôler un calcul, remplacez x successivement par chaque abscisse donnée dans le polynôme obtenu. Si une valeur ne coïncide pas, vérifiez d'abord l'ordre des soustractions au numérateur et les abscisses extrêmes au dénominateur.
À ne pas confondre
Différence divisée et différence finie. Une différence finie d'ordre 1 soustrait deux valeurs ; une différence divisée d'ordre 1 rapporte cette soustraction à l'écart des abscisses. Avec f(0) = 0 et f(2) = 4, la différence finie d'ordre 1 vaut 4, tandis que la différence divisée d'ordre 1 vaut (4 − 0)/(2 − 0) = 2.
Formes de Newton et de Lagrange. Elles peuvent représenter le même polynôme d'interpolation, mais leurs coefficients et leurs bases diffèrent. Pour les points (0, 0), (1, 1) et (2, 4), développer l'une ou l'autre forme doit conduire au même polynôme x2.
Différence divisée et dérivée. Une différence divisée compare des valeurs en points distincts ; une dérivée résulte d'un passage à la limite lorsque les points se rapprochent. Pour f(x) = x2, f[0, 2] = 2, alors que la dérivée en 0 vaut 0.
Limites et pièges
Abscisses répétées. Dès que deux abscisses d'une même différence divisée coïncident, un dénominateur devient nul. Le tableau ordinaire ne s'applique plus ; si des dérivées sont disponibles, une interpolation d'Hermite traite ces nœuds répétés.
Ordre des points. Permuter les abscisses change l'ordre des facteurs et les coefficients lus dans la forme de Newton, mais pas le polynôme final interpolant les mêmes données distinctes. Un contrôle limité à la comparaison des tableaux peut donc signaler à tort une contradiction.
Points très rapprochés. Un petit écart xj − xi divise l'écart des valeurs. Des données arrondies peuvent alors produire des différences divisées très sensibles ; il faut conserver une précision suffisante et contrôler le polynôme aux abscisses initiales.
Interpolation hors des nœuds. Le polynôme est contraint aux n + 1 abscisses données, pas entre elles ni au-delà. L'égalité aux nœuds ne prouve donc pas qu'il reproduit partout la fonction d'origine ; toute extrapolation demande une justification supplémentaire.
Pour aller plus loin
La différence divisée d'ordre n fournit le coefficient du produit de n facteurs dans la forme de Newton. Si la fonction d'origine est un polynôme de degré inférieur à n, cette différence est nulle, ce qui donne un critère calculable pour repérer que le tableau s'est stabilisé.
Lorsque des nœuds se rapprochent, les différences divisées conduisent vers des expressions liées aux dérivées. Cette transition mène à l'interpolation d'Hermite, où valeurs et dérivées imposent ensemble le polynôme recherché.
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