Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Erreur de deuxième espèce
En statistique inférentielle, l'erreur de deuxième espèce (ou erreur de type II) est l'erreur consistant à ne pas rejeter l'hypothèse nulle alors qu'elle est fausse. La probabilité de commettre cette erreur est notée beta. La puissance d'un test est 1 - beta, c'est-à-dire la probabilité de rejeter correctement l'hypothèse nulle quand elle est effectivement fausse. Il existe un compromis entre les erreurs de première et de deuxième espèce : réduire l'une tend à augmenter l'autre à taille d'échantillon fixée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la décision qui constitue une erreur de type II.
- Calculer le risque bêta comme complément de la puissance pour une alternative donnée.
- Interpréter correctement un non-rejet de l'hypothèse nulle.
- Distinguer l'erreur de deuxième espèce de l'erreur de première espèce et de la valeur p.
En clair
Une ligne de production a réellement dérivé, mais le contrôle effectué sur un échantillon ne déclenche aucune alerte. Le test laisse alors passer un changement qui existe : il commet une erreur de deuxième espèce.
Cette erreur ne signifie pas que le calcul est faux. Elle vient du fait qu'un échantillon varie et peut masquer un effet réel. Sa probabilité, appelée risque bêta, diminue lorsque le test devient plus apte à détecter l'écart recherché. Cette aptitude est la puissance du test.
Définition
Un test d'hypothèse confronte une hypothèse nulle, notée H0, à une hypothèse alternative, notée H1. À partir des données, sa règle de décision conduit soit à rejeter H0, soit à ne pas la rejeter. Une erreur de deuxième espèce, ou erreur de type II, se produit lorsque H0 est fausse mais que la décision est de ne pas la rejeter. Cette décision n'équivaut donc pas à prouver H0.
Pour une valeur donnée du paramètre réel, appelée θ, située dans H1, le risque bêta est . La puissance au même point est : c'est la probabilité que le test rejette H0 lorsque cette alternative précise est vraie. Si H1 contient plusieurs valeurs possibles, bêta et la puissance varient généralement avec θ ; il n'existe pas nécessairement un unique risque bêta.
À taille d'échantillon fixée, rendre le rejet plus difficile réduit le risque d'erreur de première espèce, mais tend à augmenter le risque de deuxième espèce. Augmenter la taille de l'échantillon peut améliorer la puissance pour un effet donné sans imposer le même déplacement du seuil de décision.
Un exemple, pas à pas
Un contrôle surveille une ligne de production. L'hypothèse nulle affirme que la ligne n'a pas dérivé. On étudie une dérive précise qui existe réellement et que le test détecte avec une probabilité de 0,80.
Données
H0 est fausse pour la dérive étudiée.
La probabilité de rejeter H0 sous cette dérive vaut 0,80.
On imagine 100 contrôles indépendants réalisés dans les mêmes conditions.
H0 est fausse pour la dérive étudiée.
La probabilité de rejeter H0 sous cette dérive vaut 0,80.
On imagine 100 contrôles indépendants réalisés dans les mêmes conditions.
1. La puissance du test pour cette dérive est 0,80.
2. Le risque bêta est son complément : .
3. Le test manque donc la dérive avec une probabilité de 20 %.
4. Sur 100 contrôles, le nombre moyen d'erreurs de type II est 100 × 0,20 = 20 ; le nombre observé peut varier.
Contrôle. Les deux issues possibles sous cette alternative totalisent bien 0,20 + 0,80 = 1.
2. Le risque bêta est son complément : .
3. Le test manque donc la dérive avec une probabilité de 20 %.
4. Sur 100 contrôles, le nombre moyen d'erreurs de type II est 100 × 0,20 = 20 ; le nombre observé peut varier.
Contrôle. Les deux issues possibles sous cette alternative totalisent bien 0,20 + 0,80 = 1.
En pratique
Avant une étude, on fixe l'effet minimal qu'il serait important de détecter, puis on choisit une taille d'échantillon donnant une puissance suffisante pour cet effet. Si davantage d'observations sont accessibles, augmenter leur nombre est préférable à relever mécaniquement le risque d'erreur de première espèce.
Dans un contrôle de production, une erreur de type II laisse passer une dérive réelle. Lorsque ce défaut est coûteux, on compare des règles de décision par leur puissance pour les dérives jugées importantes, plutôt que par leur seul seuil de rejet.
Devant un résultat non significatif, on examine la puissance prévue et l'intervalle des effets encore compatibles avec les données. Si l'étude est trop peu informative, recueillir plus de données ou annoncer l'incertitude est plus juste que conclure à l'absence d'effet.
À ne pas confondre
Erreur de première espèce. Elle consiste à rejeter H0 alors que H0 est vraie ; l'erreur de première espèce concerne donc l'autre état réel. Si la ligne n'a pas dérivé mais que le contrôle donne l'alerte, il s'agit d'une erreur de type I, et non de type II.
Valeur p. La valeur p est calculée à partir des données sous H0. Le risque bêta se calcule, lui, sous une alternative précisée. Une grande valeur p ne mesure donc pas la probabilité d'avoir commis une erreur de type II.
Limites et pièges
Alternative non précisée. Dire « bêta vaut 0,20 » n'est complet que si l'effet réel, le modèle, la taille d'échantillon et la règle du test sont fixés. Si plusieurs dérives sont possibles, il faut donner la puissance en fonction de leur amplitude ou indiquer celle retenue.
Non-rejet trompeur. Ne pas rejeter H0 peut venir d'un effet absent, d'un effet faible ou d'un test peu puissant. Le symptôme est une conclusion d'absence tirée du seul dépassement du seuil. Il faut examiner les effets compatibles avec les données et la puissance associée.
Compromis à cadre fixé. À taille d'échantillon constante, diminuer le niveau de signification α tend à réduire l'erreur de type I et à augmenter bêta. Ce compromis n'est pas une fatalité identique dans tous les plans : davantage de données peut réduire bêta pour l'effet étudié sans augmenter ce niveau.
Fréquence attendue. Avec bêta = 0,20, vingt erreurs sur cent répétitions représentent une moyenne théorique, pas un quota. Un écart observé à 20 n'invalide pas à lui seul le calcul ; il faut tenir compte de la variabilité des répétitions indépendantes.
Pour aller plus loin
Erreur de première espèce — Situer l'autre décision erronée éclaire le compromis entre les risques alpha et bêta dans un test.
Inférentielle (statistique) — Replacer le test d'hypothèse dans la démarche qui tire des conclusions sur une population à partir d'un échantillon.
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