fonction analytique

Prenons la courbe donnée par 1 + x + x². Près de la valeur x = 0, ses trois termes décrivent exactement la fonction : une constante, une variation proportionnelle à x et une correction proportionnelle à x².

Une fonction analytique possède ce type de description locale autour de chacun de ses points, avec éventuellement une infinité de puissances. Le mot « locale » est essentiel : la série coïncide avec la fonction dans un voisinage dont la taille peut changer d'un centre à l'autre.

Soit une fonction f définie sur un domaine ouvert de nombres réels ou complexes. Elle est analytique si, autour de chaque point choisi comme centre x₀, elle coïncide avec une série entière. Il existe alors un rayon positif r et des coefficients a₀, a₁, a₂, … tels que :

Le rayon r délimite le voisinage où l'égalité est garantie. Les coefficients ne sont pas de simples paramètres d'approximation : lorsque f est analytique, ils sont imposés par ses dérivées au centre. En notant f⁽ⁿ⁾(x₀) la dérivée d'ordre n en x₀, on a $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}a\_n=\backslash frac\{f^\{(n)\}(x\_0)\}\{n!\}$. Sur les réels, être dérivable à tout ordre ne suffit pas à assurer cette égalité locale. Sur les complexes, toute fonction holomorphe sur un domaine ouvert est analytique. L'addition, la multiplication et la composition de fonctions analytiques restent analytiques dès que les domaines permettent les opérations.

Une description analytique réunit cinq éléments. La fonction f est l'objet à représenter. Le centre x₀ fixe le point autour duquel on observe son comportement. Les coefficients a_n règlent le poids de chaque puissance. Les puissances de l'écart x − x₀ enregistrent les variations successives. Enfin, le rayon positif r précise jusqu'où la série converge vers f.

Le centre détermine donc à la fois les puissances employées et les coefficients calculés par les dérivées. Le rayon relie la série au domaine : le voisinage considéré doit rester dans la zone où la représentation est valable. Ces données suffisent à reconstruire localement les valeurs de la fonction. Le tracé, la couleur ou l'échelle d'un graphique n'entrent pas dans la définition.

Considérons la fonction f donnée par $f(x)=1+x+x^{2}f(x)=1+x+x^2$, centrée en x₀ = 0. Les données sont les coefficients a₀ = 1, a₁ = 1, a₂ = 1 et tous les coefficients suivants nuls. Nous cherchons sa valeur pour x = 0,5.

1. L'écart au centre vaut 0,5 − 0 = 0,5.

2. Les trois contributions valent respectivement 1, 0,5 et 0,5² = 0,25.

3. Leur somme donne f(0,5) = 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75.

Le contrôle consiste à remplacer directement x par 0,5 dans l'expression initiale : on retrouve exactement 1,75. Une décomposition visuelle des trois contributions montre comment les puissances s'additionnent. Comme la série ne contient qu'un nombre fini de termes, ce polynôme est analytique autour de tout centre réel ou complexe, sans restriction de rayon.

Pour calculer une valeur proche d'un centre, on remplace la fonction par les premiers termes de sa série. On préfère une évaluation directe lorsque la formule est déjà simple ; la série devient utile quand ses termes sont plus faciles à calculer ou à contrôler.

Pour étudier le comportement local, les coefficients révèlent les dérivées successives au centre. Si la fonction réelle est seulement connue comme indéfiniment dérivable, il faut encore vérifier que sa série de Taylor converge vers elle ; la régularité seule ne suffit pas.

En analyse complexe, établir qu'une fonction est holomorphe sur un domaine ouvert donne directement son analyticité. Cette voie remplace la construction séparée d'une série en chaque point lorsque les conditions d'holomorphie sont plus accessibles.

Fonction analytique et fonction indéfiniment dérivable. Une fonction analytique réelle est dérivable à tout ordre, mais la réciproque est fausse. Le test décisif est l'égalité locale entre la fonction et sa série de Taylor, pas la seule existence de toutes les dérivées.

Fonction analytique et polynôme. Un polynôme possède un développement fini et est analytique, mais une fonction analytique peut nécessiter une série infinie. Le cas f(x) = 1 + x + x² tranche dans un sens : c'est à la fois un polynôme et une fonction analytique.

Formule explicite et analyticité. Disposer d'une « expression analytique » au sens courant d'une formule ne prouve pas la propriété mathématique. Il faut exhiber le développement local et son rayon, ou utiliser un critère valable dans le cadre considéré.

Le rayon n'est pas automatiquement global. La définition garantit l'égalité seulement lorsque |x − x₀| < r. Au bord |x − x₀| = r, elle ne conclut rien ; il faut étudier la convergence séparément plutôt que remplacer « < » par « ≤ ».

Le centre compte. Les coefficients et le rayon peuvent changer lorsque x₀ change. Il faut recalculer le développement au nouveau centre, même si les représentations obtenues décrivent la même fonction sur des voisinages qui se recouvrent.

Le cadre réel admet un piège classique. La fonction qui vaut $e^{-1\mathrm{/}{x}^2}e^\{-1/x^2\}$ pour x non nul et 0 en x = 0 est indéfiniment dérivable. Toutes ses dérivées en 0 sont nulles, donc sa série de Taylor y est la série nulle, alors que la fonction est positive hors de 0. Elle n'est pas analytique en 0.

Un bord demande une convention. La définition usuelle porte sur un domaine ouvert, afin que chaque centre possède un voisinage des deux côtés dans le cas réel, ou un disque dans le cas complexe. À une extrémité de domaine, il faut annoncer une notion unilatérale ou prolonger la fonction avant de parler d'analyticité.

La suite naturelle consiste à étudier comment le rayon de convergence varie avec le centre, puis comment les développements locaux se raccordent sur des voisinages qui se recouvrent. En analyse complexe, ce chemin mène aux liens entre holomorphie, singularités et prolongement analytique. Sur les réels, il conduit à comparer précisément fonctions analytiques et fonctions de classe C^∞.