forme bilinéaire

Imaginez une règle qui reçoit deux vecteurs et renvoie un nombre. Elle peut examiner le premier vecteur en gardant le second fixe, puis le second en gardant le premier fixe. Dans chaque cas, additionner des vecteurs additionne les résultats, et multiplier un vecteur par un nombre multiplie aussi le résultat. Une telle règle est bilinéaire : elle est linéaire dans chacune de ses deux entrées.

Par exemple, une mesure de contribution peut associer deux directions à un nombre qui dépend de leur combinaison. Quand les deux espaces d’entrée sont le même espace, on parle d’une forme bilinéaire. Le produit scalaire est un cas particulier important, mais toute forme bilinéaire n’est pas un produit scalaire.

Une forme bilinéaire sur un espace vectoriel E est une application qui associe à chaque couple de vecteurs (x, y) un scalaire, c’est-à-dire un élément du corps K, et qui est linéaire séparément par rapport à x et à y. Plus généralement, une application f : E × F → K est bilinéaire lorsque E et F sont deux espaces vectoriels sur le même corps K. Pour tout vecteur y fixé, l’application x ↦ f(x, y) est linéaire ; pour tout vecteur x fixé, l’application y ↦ f(x, y) est également linéaire.

Cette double linéarité impose l’additivité dans chaque variable et la compatibilité avec les multiplications scalaires. Les formes bilinéaires symétriques vérifient f(x, y) = f(y, x). Les formes bilinéaires alternées vérifient f(x, x) = 0 pour tout x ; sur un corps de caractéristique différente de 2, cela entraîne aussi f(x, y) = −f(y, x). Sur un espace vectoriel réel, une forme bilinéaire symétrique définie positive est un produit scalaire, mais la bilinéarité seule n’impose ni symétrie, ni positivité, ni absence de vecteurs annulés.

Prenons E = ℝ² et définissons la forme bilinéaire B par sa matrice dans la base usuelle :

Pour les vecteurs x = (1, 2) et y = (3, 4), le calcul se lit B(x, y) = 2·1·3 + 1·1·4 + 3·2·3 + 4·2·4 = 60. La première variable est donc combinée linéairement avec les coefficients déterminés par y, et la seconde avec ceux déterminés par x.

En remplaçant x par 2x, on obtient B(2x, y) = 120, soit deux fois B(x, y). En remplaçant y par y + y, on obtient B(x, y + y) = 120, soit B(x, y) + B(x, y). Ces deux vérifications illustrent la linéarité séparée.

Pour reconnaître une forme bilinéaire en pratique, identifiez d’abord ses deux vecteurs d’entrée et le corps des scalaires. Gardez le second vecteur fixe et vérifiez que la règle obtenue pour le premier est linéaire. Faites ensuite le même contrôle en gardant le premier fixe. Dans l’exemple de B sur ℝ², la matrice fournit directement les coefficients du calcul et permet de vérifier chaque valeur.

La matrice d’une forme bilinéaire dépend des bases choisies, tandis que la propriété de bilinéarité ne dépend pas de ces coordonnées. Cette distinction est utile lorsque l’on passe d’un calcul concret à une interprétation géométrique ou algébrique.

Une forme bilinéaire n’est pas nécessairement un produit scalaire. Dans un espace vectoriel réel, le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique et définie positive ; il vérifie donc aussi que le produit d’un vecteur non nul par lui-même est strictement positif. La forme B de l’exemple est bilinéaire, mais sa matrice n’est pas symétrique, car le coefficient 1 en première ligne et deuxième colonne diffère du coefficient 3 en deuxième ligne et première colonne.

Il ne faut pas non plus confondre bilinéarité et linéarité d’une application à une seule variable. Une application de E × F peut être linéaire dans chaque variable séparément sans être une application linéaire d’un espace produit muni d’une structure supplémentaire. Enfin, une forme alternée n’est pas simplement une forme dont les valeurs seraient toujours négatives : sa condition porte sur B(x, x), qui doit être nul pour tout vecteur x.

La bilinéarité ne garantit pas qu’une forme sépare effectivement les vecteurs. Une forme peut être dégénérée : il peut exister un vecteur non nul x tel que f(x, y) = 0 pour tout y, ou un vecteur non nul y tel que f(x, y) = 0 pour tout x. Lorsque E et F sont de dimensions finies égales, cette propriété se lit par le déterminant de la matrice carrée : une matrice non inversible correspond alors à une forme dégénérée, une fois les bases fixées.

Les mots « forme bilinéaire » supposent ici que les deux espaces d’entrée sont identiques. Lorsque E et F sont différents, il est plus précis de parler d’application bilinéaire E × F → K. La relation entre alternance et antisymétrie dépend aussi de la caractéristique du corps : l’implication annoncée dans la définition de la fiche utilise une caractéristique différente de 2.

Une forme bilinéaire peut être étudiée par l’application linéaire qu’elle associe à un vecteur : à x, elle fait correspondre la forme linéaire y ↦ f(x, y). Cette correspondance transforme ainsi une information à deux variables en une application linéaire vers le dual de l’espace. En dimension finie, la matrice de la forme rend cette correspondance calculable et permet d’étudier son noyau, son rang et sa dégénérescence.

Les formes bilinéaires symétriques conduisent à des notions de signe, d’orthogonalité et de conique. Les formes alternées interviennent notamment dans les déterminants et les objets géométriques orientés. Ces prolongements demandent de préciser le corps, la dimension et les bases ; ils ne se déduisent pas de la seule bilinéarité.