Irréductible (fraction rationnelle)

Une fraction comme 6/15 peut être écrite avec des nombres plus petits. En divisant le numérateur et le dénominateur par 3, on obtient 2/5, sans changer la valeur. La fraction 2/5 est irréductible parce qu'aucun nombre entier supérieur à 1 ne divise encore ses deux termes.

Pour une fraction rationnelle, le même geste s'applique à deux polynômes : on cherche un facteur commun, puis on le supprime. Dire qu'elle est irréductible signifie qu'aucun facteur non constant ne peut être retiré du numérateur et du dénominateur.

Sur un corps de coefficients K, une fraction rationnelle est un quotient P/Q de deux polynômes P et Q de K[X], avec Q non nul. Elle est irréductible lorsque P et Q n'ont aucun facteur commun non constant, autrement dit lorsque leur plus grand diviseur commun, défini à multiplication près par une constante non nulle, est une constante. Multiplier simultanément P et Q par une même constante non nulle ne change pas la fraction rationnelle représentée.

Pour les fractions numériques, le critère devient l'absence de diviseur commun strictement supérieur à 1 entre le numérateur et le dénominateur. Pour les polynômes, le domaine de référence doit être précisé : un polynôme peut être irréductible sur un corps et se factoriser sur un autre. Le mot conserve toutefois l'idée générale donnée par la source : aucune décomposition pertinente ne reste dans la structure considérée.

La même idée prend des formes différentes selon l'objet. Dans un anneau intègre, un élément irréductible est non nul, non inversible et ne se factorise pas en deux éléments non inversibles. Pour un endomorphisme u d'un espace vectoriel E, aucun sous-espace vectoriel propre non nul de E ne doit être stable par u ; pour une représentation, aucune sous-représentation non triviale ne doit subsister ; en topologie, l'espace ne se réunit pas en deux fermés propres.

On étudie la fraction 6/15. Le numérateur vaut 6 et le dénominateur vaut 15 ; le dénominateur est non nul. L'objectif est de retirer leur facteur commun sans modifier la valeur du quotient.

Le plus grand diviseur commun de 6 et 15 vaut 3.

On divise le numérateur et le dénominateur par 3.

La fraction obtenue est 2/5. Le contrôle consiste à vérifier que 2 et 5 n'ont aucun diviseur commun supérieur à 1 ; elle est donc irréductible.

Dans un calcul numérique, réduire une fraction irréductible rend le résultat plus lisible. Le geste consiste à calculer le plus grand diviseur commun des deux termes, puis à diviser chacun par cette valeur.

Dans une fraction rationnelle, on factorise le numérateur et le dénominateur avant de supprimer leurs facteurs communs. Par exemple, (X² + 3X + 2)/(X² + X) = ((X + 1)(X + 2))/(X(X + 1)) = (X + 2)/X : le facteur commun X + 1 a été retiré. Comme X + 2 et X n'ont aucun facteur commun non constant, la fraction obtenue est irréductible.

Pour un polynôme, il faut annoncer le corps de coefficients avant de conclure. Si une factorisation est recherchée sur un autre corps, le critère peut changer ; une factorisation numérique ne suffit donc pas toujours.

Une fraction simplifiée et une fraction irréductible ne sont pas deux objets différents. Une simplification est l'opération qui retire un facteur commun ; l'irréductibilité est la propriété du résultat quand aucun facteur commun non trivial ne subsiste. Ainsi, 6/15 est réductible, tandis que 2/5 est irréductible.

Une fraction rationnelle irréductible ne signifie pas que son numérateur ou son dénominateur est nécessairement un polynôme irréductible. Le critère porte sur les facteurs communs aux deux polynômes ; chacun peut encore se factoriser séparément.

Le dénominateur d'une fraction rationnelle doit être un polynôme non nul. Un quotient dont le dénominateur est le polynôme nul n'est pas une fraction rationnelle valide, même si le numérateur est lui aussi nul.

Le corps de coefficients est une condition charnière pour l'irréductibilité d'un polynôme. Un polynôme de degré 2 sans racine dans le corps considéré peut se factoriser après extension du corps ; il faut donc toujours préciser le cadre avant le verdict.

Une constante non nulle ne compte pas comme facteur de décomposition intéressant dans le critère des fractions rationnelles. La présence de facteurs constants seuls ne rend donc pas un quotient réductible ; on recherche des facteurs non constants communs.

Pour prolonger l'exemple de (X² + 3X + 2)/(X² + X), repérez le facteur commun avant la simplification, puis demandez-vous si le verdict changerait dans un autre corps de coefficients. Cette comparaison montre pourquoi l'objet étudié et le domaine doivent être précisés avant de conclure qu'une expression est irréductible.