Klügel Georg

En 1763, à Göttingen, Georg Simon Klügel étudie une question qui résiste aux géomètres : peut-on démontrer le cinquième postulat d'Euclide à partir des autres axiomes ? Il examine trente tentatives et les invalide.

Son travail ne fournit donc pas une nouvelle preuve. Il met en évidence la difficulté logique du postulat des parallèles et aide à comprendre pourquoi les fondements de la géométrie ont ensuite été interrogés. Klügel travaille aussi sur la trigonométrie, notamment sur les fonctions qui relient angles et rapports de longueurs.

Georg Simon Klügel (1739-1812) est un mathématicien et physicien allemand né à Hambourg. Il devient mathématicien après avoir commencé des études de théologie à Göttingen en 1760, sous l'influence de son professeur Abraham Gotthelf Kästner.

Sa thèse de 1763 porte sur le cinquième postulat d'Euclide, aussi appelé postulat des parallèles. Klügel y passe en revue trente démonstrations proposées et les invalide. La portée de cette démarche est critique : les démonstrations examinées échouent à établir le postulat, sans que ce corpus suffise à démontrer une non-déductibilité générale ni une propriété nouvelle de la figure.

Klügel enseigne ou travaille successivement à Göttingen, à Helmstedt, puis à l'université de Halle à partir de 1788. En trigonométrie, il unifie le formalisme des formules et introduit systématiquement le concept de fonction trigonométrique. À partir de 1803, il rédige un dictionnaire mathématique que son état de santé l'empêche d'achever ; Karl Mollweide et Johann August Grunert en complètent la publication.

La thèse de 1763 fournit un cas précis de raisonnement critique en histoire des mathématiques. La question porte sur le cinquième postulat d'Euclide : une démonstration peut-elle le déduire des autres axiomes ?

Pour rendre l'examen contrôlable, on isole ici un mini-cas logique : une tentative prétend déduire le cinquième postulat d'Euclide des autres axiomes, mais elle utilise déjà ce postulat comme prémisse.

La déduction prétendue est donc : « les autres axiomes impliquent le postulat », alors que le raisonnement posé est « le postulat est admis, donc la conclusion est le postulat ». L'étape à questionner est l'introduction de cette prémisse : elle ne montre pas que le postulat découle des autres axiomes, puisqu'elle le suppose déjà.

Ce mini-cas illustre le type de contrôle logique à effectuer sur une démonstration ; il ne reconstitue pas une des trente tentatives de la thèse de 1763. Pour le corpus historique, Klügel rassemble les tentatives, examine chacune des trente propositions et les invalide. Ce constat critique ne constitue pas, à lui seul, une démonstration de l'indépendance du postulat.

Pour situer Klügel dans l'histoire de la géométrie, on regarde d'abord la question traitée dans sa thèse de 1763 : elle concerne le cinquième postulat d'Euclide, et non une formule de trigonométrie.

Pour reconnaître sa contribution à la trigonométrie, on cherche l'unification du formalisme des formules et l'introduction systématique du concept de fonction trigonométrique. Cette entrée complète l'étude historique du postulat par un apport de structuration des notions.

Pour suivre sa trajectoire académique, on relève les lieux explicitement associés à sa carrière : Göttingen, Helmstedt, puis l'université de Halle à partir de 1788.

Il ne faut pas confondre l'invalidation de trente démonstrations avec la démonstration que le cinquième postulat est vrai. Le critère qui tranche est le résultat de la thèse de 1763 : Klügel invalide les tentatives examinées, sans que ces échecs suffisent à établir que le postulat ne se déduit pas des autres axiomes ; il ne fournit pas une preuve de ce postulat.

Il ne faut pas non plus confondre le postulat d'Euclide, qui est le sujet géométrique de la thèse, avec la fonction trigonométrique, qui appartient à un autre volet des travaux de Klügel. Le sujet observé dans le document suffit à les distinguer.

Le nombre de trente concerne les tentatives de démonstration que Klügel passe en revue dans sa thèse ; il ne mesure pas toutes les recherches consacrées au cinquième postulat. Si le corpus étudié change, le nombre ne doit pas être généralisé.

Le constat que les trente tentatives examinées n'aboutissent pas décrit la portée critique de ce travail ; il n'établit pas, à lui seul, l'impossibilité générale de déduire le postulat des autres axiomes. Il ne signifie pas que toute géométrie est impossible, mais rappelle qu'il faut distinguer un axiome posé comme base d'une proposition démontrée à partir d'autres axiomes.

Le dictionnaire mathématique commencé à partir de 1803 est également une œuvre inachevée par son auteur. La publication complétée par Karl Mollweide et Johann August Grunert ne doit donc pas être attribuée à Klügel seul dans sa forme finale.

Pour replacer la question étudiée par Klügel dans son contexte géométrique, la fiche Euclide permet d'identifier l'auteur auquel le postulat est traditionnellement rattaché et de poursuivre la lecture historique.