GéométrieNotion · Glossaire
Laguerre Edmond Nicolas
Edmond Nicolas Laguerre est un mathématicien français principalement connu pour les polynômes de Laguerre, famille de fonctions spéciales indexée par un entier positif ou nul et orthogonale sur [0, +∞[ pour le poids e−x. Solutions polynomiales de l’équation différentielle de Laguerre, ils sont adaptés aux problèmes sur la demi-droite positive et interviennent notamment dans la résolution de l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les étapes attestées de la carrière d’Edmond Laguerre.
- Lire l’équation différentielle associée aux polynômes de Laguerre.
- Vérifier par substitution que L1(x) = 1 − x est une solution.
- Relier l’orthogonalité pondérée à l’approximation et à la physique quantique.
En clair
En 1864, Edmond Nicolas Laguerre devient chargé de cours à l’École Polytechnique, après avoir mené ses recherches tout en étant officier d’artillerie. Son nom reste attaché à des polynômes, c’est-à-dire des expressions construites avec des puissances entières d’une variable.
Ces polynômes sont adaptés à la demi-droite qui part de zéro et s’étend sans fin. Ils permettent de décomposer certaines fonctions en composantes indépendantes, un peu comme des directions perpendiculaires, et apparaissent dans l’étude mathématique de l’atome d’hydrogène.
Définition
Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886) est un mathématicien français formé à l’École Polytechnique. Officier d’artillerie à sa sortie de l’École, il poursuit parallèlement ses recherches et publie des articles. Il devient chargé de cours à l’École Polytechnique en 1864, puis membre de l’Académie des Sciences et enseignant au Collège de France. Ses travaux concernent notamment l’approximation numérique et la géométrie.
Son nom désigne surtout une famille de fonctions spéciales, les polynômes de Laguerre. Pour un entier n positif ou nul, un polynôme y de cette famille vérifie l’équation différentielle suivante, où y′ et y″ sont ses première et deuxième dérivées par rapport à la variable x :
Une normalisation usuelle fixe Ln(0) = 1, car toute constante multipliant une solution donne encore une solution.
Sur l’intervalle [0, +∞[, ces polynômes sont orthogonaux pour le poids exponentiel e−x : l’intégrale pondérée du produit de deux polynômes d’indices différents est nulle. Cette structure intervient dans des méthodes d’approximation et dans la résolution de l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène.
Un exemple, pas à pas
Vérifions le premier polynôme non constant. Les données sont l’indice n = 1, la variable x et le candidat L1(x) = 1 − x.
1. La première dérivée de L1 vaut −1.
2. Sa deuxième dérivée vaut 0.
3. Dans l’équation de Laguerre pour n = 1, on remplace y, y′ et y″ par ces expressions.
2. Sa deuxième dérivée vaut 0.
3. Dans l’équation de Laguerre pour n = 1, on remplace y, y′ et y″ par ces expressions.
Le membre de gauche devient :
Le résultat est nul pour toute valeur de x. Le candidat est donc bien une solution polynomiale de l’équation pour n = 1.
Un contrôle indépendant utilise la normalisation : L1(0) = 1. Avec L0(x) = 1 et L2(x) = 1 − 2x + x2/2, le tracé fait aussi apparaître des formes distinctes pour les trois premiers indices.
En pratique
En approximation numérique, on développe une fonction sur une base de polynômes de Laguerre lorsque la variable parcourt [0, +∞[ et que le poids e−x correspond au comportement étudié. Sur un intervalle fini ou avec un autre poids, une autre famille orthogonale est généralement plus adaptée.
Pour une équation différentielle de la forme donnée, on fixe l’entier n, on propose un polynôme, puis on substitue ses deux premières dérivées. L’annulation exacte du membre de gauche confirme que le polynôme convient.
En physique quantique, les polynômes de Laguerre apparaissent dans le traitement de l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène. Ils servent dans la partie mathématique de la résolution ; ils ne constituent pas, à eux seuls, une description complète de l’atome.
À ne pas confondre
Le mathématicien et les polynômes qui portent son nom. Edmond Nicolas Laguerre est une personne du XIXe siècle ; Ln est une fonction indexée par un entier. Une date concerne le premier, tandis qu’une substitution dans une équation concerne le second.
Orthogonalité et perpendicularité dessinée. Pour les polynômes de Laguerre, l’orthogonalité se teste par une intégrale pondérée sur [0, +∞[, et non par un angle visible entre deux courbes. Deux tracés qui se croisent à angle droit ne suffisent donc pas.
Équation de Laguerre et polynôme de Laguerre. L’équation est la relation différentielle à vérifier. Le polynôme est une solution particulière obtenue lorsque n est un entier positif ou nul ; pour n = 1, L1(x) = 1 − x passe le test.
Limites et pièges
Indice hors du cadre annoncé. La famille décrite ici prend n entier positif ou nul. Si n n’est pas dans cet ensemble, l’équation peut encore avoir des solutions, mais il ne faut pas conclure automatiquement qu’elles sont des polynômes de cette famille.
Solution non normalisée. L’équation est homogène : si y est solution, toute constante multipliant y est encore solution. Sans une convention comme Ln(0) = 1, l’équation seule ne sélectionne donc pas un représentant unique.
Orthogonalité sans poids. Sur [0, +∞[, omettre le facteur e−x change l’intégrale et peut la rendre divergente. Le domaine et le poids font partie du test ; l’expression « orthogonaux sur la demi-droite » ne doit pas être lue comme une propriété sans convention de produit scalaire.
Cas n = 0. L’indice nul n’est pas une exception à exclure : L0(x) = 1 vérifie l’équation. Sa dérivée et sa deuxième dérivée sont nulles, ce qui fournit le contrôle direct.
Pour aller plus loin
Les espaces de Hilbert, un cadre pour la mécanique quantique — Situer l’orthogonalité des fonctions dans le cadre mathématique utilisé par la mécanique quantique.
Un prolongement naturel consiste à étudier le produit scalaire pondéré par e−x, puis à vérifier l’orthogonalité de L0, L1 et L2 par intégration. On relie ainsi l’équation différentielle à une base adaptée à l’approximation de fonctions sur [0, +∞[.
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