AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Logistique (fonction et suite)
La fonction logistique est une fonction sigmoïde définie par f(x) = 1/(1 + exp(-x)). Elle prend des valeurs dans l'intervalle (0, 1) et est souvent utilisée pour modéliser des probabilités ou des phénomènes de croissance bornée. La suite logistique est définie par la récurrence avec un paramètre r. Cette suite est un exemple canonique de système dynamique discret pouvant exhiber des comportements chaotiques selon la valeur du paramètre r. Elle est fondamentale en dynamique des populations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la fonction sigmoïde de la suite définie par récurrence.
- Calculer quatre termes de la suite pour r = 3,2 et x₀ = 0,2.
- Reconnaître les bornes, l'effet du paramètre et les pièges d'arrondi.
En clair
Imaginez une quantité qui augmente d'abord presque librement, puis ralentit à mesure qu'elle approche d'un plafond. La courbe en S de la fonction logistique traduit ce passage progressif entre deux niveaux.
La suite logistique raconte une histoire voisine par étapes. À chaque tour, la nouvelle valeur dépend de la valeur actuelle et de la place qui reste avant 1. Selon le paramètre choisi, les valeurs peuvent se stabiliser, osciller ou devenir chaotiques.
Définition
Le mot « logistique » recouvre ici deux objets mathématiques. La fonction logistique associe à tout nombre réel x un nombre strictement compris entre 0 et 1. En notant exp la fonction exponentielle, elle s'écrit . Sa courbe est sigmoïde : elle croît, passe par f(0) = 1/2 et s'approche de 0 ou de 1 sans atteindre ces bornes pour une entrée finie. Elle sert notamment à représenter une probabilité ou une croissance bornée.
La suite logistique est un système dynamique discret. On choisit une valeur initiale x0 et un paramètre r, puis chaque terme est obtenu à partir du précédent : . Le facteur xn porte l'état présent, tandis que 1 − xn freine l'évolution lorsque cet état approche 1. Pour une interprétation comme proportion, prendre 0 ≤ x0 ≤ 1 et 0 ≤ r ≤ 4 garantit que les termes restent dans [0, 1].
Ces deux objets partagent l'idée de croissance limitée, mais leurs formules ne se déduisent pas l'une de l'autre par simple changement de notation. La fonction transforme une entrée réelle en une sortie ; la suite répète une règle et son comportement peut devenir chaotique selon r.
De quoi c'est fait
La fonction logistique repose sur trois éléments : une entrée réelle x, l'exponentielle de l'opposé de x et le quotient final. L'exponentielle rend le dénominateur toujours supérieur à 1 ; le quotient impose donc une sortie entre 0 et 1. Modifier l'échelle ou décaler l'entrée change le tracé, mais pas le mécanisme sigmoïde de la forme de référence.
La suite logistique demande quatre données ou relations : l'indice entier n qui compte les étapes, la valeur initiale x0, le paramètre r et le facteur de freinage 1 − xn. La valeur initiale lance l'itération ; r règle son intensité ; le produit détermine le terme suivant. Ces éléments suffisent à calculer toute trajectoire, mais sa couleur ou son mode de tracé ne font pas partie de la définition.
Un exemple, pas à pas
On étudie une proportion par étapes avec la suite logistique. Les données sont x0 = 0,2 et r = 3,2. Chaque résultat non arrondi est réinjecté dans la même règle.
1. Le premier terme vaut .
2. Le suivant vaut .
3. On obtient ensuite x3 ≈ 0,512884, puis x4 ≈ 0,799469.
4. Les termes alternent alors près de 0,513 et de 0,799 : cet exemple montre une oscillation, pas un comportement chaotique.
2. Le suivant vaut .
3. On obtient ensuite x3 ≈ 0,512884, puis x4 ≈ 0,799469.
4. Les termes alternent alors près de 0,513 et de 0,799 : cet exemple montre une oscillation, pas un comportement chaotique.
Le contrôle consiste à reprendre x2 dans la règle : 3,2 × 0,7995392 × (1 − 0,7995392) ≈ 0,512884. La figure rend visibles les mêmes allers-retours entre la parabole et la diagonale.
En pratique
Pour transformer un score réel en valeur comprise entre 0 et 1, la fonction logistique convient lorsque l'on veut une transition progressive. Une coupure par seuil est préférable si la sortie attendue doit seulement être oui ou non.
Pour suivre une population normalisée génération après génération, la suite logistique incorpore un frein lié à la place restante. Une croissance sans plafond est un autre modèle, à retenir lorsque ce frein n'est pas justifié.
Pour explorer un système dynamique discret, on fixe r et x0, puis on calcule les termes sans arrondir trop tôt. On observe si la trajectoire se fixe, oscille ou devient chaotique ; comparer plusieurs valeurs initiales proches aide alors à lire sa sensibilité.
À ne pas confondre
Fonction logistique et suite logistique. La première prend directement un nombre réel x et renvoie f(x). La seconde part de x0 et itère une règle aux rangs entiers : calculer x4 demande les termes précédents.
Croissance logistique et croissance sans frein. Dans la suite logistique, le facteur 1 − xn réduit l'accroissement lorsque xn approche 1. Un modèle qui multiplie toujours par le même facteur ne porte pas ce frein.
Chaos et hasard. Une trajectoire chaotique de la suite reste produite par une règle déterministe : avec les mêmes r, x0, convention arithmétique et mode d'arrondi, les mêmes termes sont obtenus. Un tirage aléatoire ne se réduit pas à cette récurrence.
Limites et pièges
Bornes de la fonction. Pour toute entrée réelle finie, la fonction logistique reste strictement entre 0 et 1. Lire exactement 0 ou exactement 1 sur un affichage numérique signale donc un arrondi ou une saturation du calcul, pas une valeur exacte de la formule.
Intervalle de la suite. L'écriture de la récurrence n'impose pas à elle seule que les termes soient des proportions. Sur [0, 1], le seuil r = 4 est charnière : si r > 4 et x0 = 1/2, alors x1 = r/4 > 1. Il faut donc annoncer le domaine et le paramètre avant toute interprétation.
Arrondis dans l'itération. Remplacer chaque terme par un arrondi revient à modifier la valeur réinjectée. Lorsque la trajectoire est sensible aux conditions initiales, deux calculs peuvent alors s'écarter. Il faut conserver la précision interne et n'arrondir que les valeurs affichées.
Pour aller plus loin
Le glossaire système dynamique replace l'itération dans le cadre général des états qui évoluent selon une règle. La fiche chaos déterministe approfondit la sensibilité qui peut apparaître pour certaines valeurs du paramètre r.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres