AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Logistique (équation)
La fonction logistique est une fonction sigmoïde définie par . Elle prend des valeurs dans l'intervalle (0, 1) et est souvent utilisée pour modéliser des probabilités ou des phénomènes de croissance bornée. La suite logistique est définie par une valeur initiale x0 et par la récurrence avec un paramètre r. Cette suite est un exemple canonique de système dynamique discret pouvant exhiber des comportements chaotiques selon la valeur du paramètre r. Elle est fondamentale en dynamique des populations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la fonction sigmoïde de la suite définie par récurrence.
- Lire le rôle de l'entrée, de l'exponentielle, du terme présent et du paramètre.
- Recalculer trois itérations à partir de x₀ = 0,2 et r = 3.
- Contrôler les bornes de la fonction et le seuil r = 4 pour la suite.
En clair
Imaginez un curseur que l'on pousse de très négatif à très positif. La fonction logistique transforme sa position en une valeur qui monte doucement de presque 0 à presque 1, avec la moitié exactement au centre. Sa courbe a la forme d'un S.
Le même adjectif nomme aussi une suite : à chaque étape, une valeur comprise entre 0 et 1 produit la suivante. Un paramètre règle l'intensité de cette évolution. Selon son choix, les valeurs peuvent se stabiliser, osciller ou devenir chaotiques.
Définition
La fonction logistique associe à tout nombre réel, noté x, une valeur f(x). Le symbole exp désigne la fonction exponentielle. Sa formule est :
Cette fonction est croissante, vérifie f(0) = 1/2 et prend ses valeurs strictement entre 0 et 1. Quand x devient très négatif, f(x) se rapproche de 0 ; quand x devient très positif, elle se rapproche de 1. Cette sortie bornée peut représenter une probabilité ou une croissance qui sature.
La suite logistique est un autre objet. On choisit une valeur initiale x0 et un paramètre réel r, puis on calcule chaque terme à partir du précédent : . Le facteur xn représente le niveau présent, tandis que 1 − xn représente la marge restante jusqu'à 1. Cette règle déterministe définit un système dynamique discret. Pour des valeurs initiales et des paramètres adaptés, elle modélise une population normalisée ; selon r, son évolution peut être stable, périodique ou chaotique.
De quoi c'est fait
La fonction comporte quatre éléments liés. L'entrée x fixe le point étudié. L'exponentielle exp(−x) décroît lorsque x augmente. Le dénominateur 1 + exp(−x) reste supérieur à 1 ; son inverse donne donc une sortie f(x) comprise strictement entre 0 et 1. L'entrée commande ainsi l'exponentielle, qui commande le dénominateur puis la sortie.
La suite réunit la valeur présente xn, la place restante 1 − xn, le paramètre r et la valeur suivante xn+1. Lorsque xn est compris entre 0 et 1, les deux premiers facteurs forment un produit nul aux bornes 0 et 1, et maximal pour xn = 1/2. Le paramètre multiplie ce produit : selon sa valeur, il peut l'amplifier, l'atténuer, l'annuler ou en changer le signe. Une valeur initiale et r suffisent à construire tous les termes. La couleur, l'échelle ou le tracé d'une courbe ne définissent ni la fonction ni la suite ; seules leurs règles de calcul le font.
Un exemple, pas à pas
On suit une population normalisée par la suite logistique. La valeur initiale est x0 = 0,2, soit 20 % de la capacité choisie comme repère. Le paramètre vaut r = 3. Chaque nouvelle valeur se calcule avec la règle .
1. Le premier terme calculé vaut .
2. On réinjecte 0,48 : .
3. On réinjecte 0,7488 : .
Après trois mises à jour, le niveau vaut donc environ 56,43 % de la capacité de référence. Un contrôle rapide consiste à vérifier que chaque résultat reste entre 0 et 1. Pour r = 3, le produit x(1 − x) ne dépasse pas 1/4 sur cet intervalle ; le terme suivant ne peut donc pas dépasser 3/4, ce que confirment 0,48, 0,7488 et 0,56429568.
En pratique
Pour convertir un score réel en valeur interprétable entre 0 et 1, la fonction logistique conserve une gradation continue. Un seuil binaire est préférable lorsque seule une décision oui/non compte.
Pour décrire une croissance bornée, sa courbe en S traduit un démarrage lent, une accélération puis une saturation. Une croissance exponentielle convient mieux tant qu'aucun plafonnement observable n'entre en jeu.
Pour suivre une population mise à jour par étapes, par exemple de génération en génération, la suite logistique donne une règle simple à itérer. Un modèle continu est plus naturel lorsque le temps ne se découpe pas en étapes distinctes.
À ne pas confondre
Fonction logistique et suite logistique. La première reçoit un nombre réel et renvoie directement une valeur entre 0 et 1. La seconde réinjecte chaque résultat dans une règle dépendant de r. Pour x = 0,2, la fonction vaut environ 0,55, tandis que la suite initialisée par x0 = 0,2 avec r = 3 donne x1 = 0,48 : le calcul tranche.
Courbe logistique et croissance exponentielle. La courbe logistique se rapproche d'un plafond, alors qu'une exponentielle croissante non bornée continue d'augmenter. Si les valeurs observées ralentissent à l'approche d'une capacité limite, le modèle logistique répond à ce signe ; sans saturation, l'exponentielle peut être plus pertinente.
Limites et pièges
Les bornes ne sont jamais atteintes par la fonction. Pour toute entrée réelle finie, l'exponentielle est strictement positive : f(x) n'est donc ni 0 ni 1. Une valeur affichée comme 0 ou 1 provient d'un arrondi ou d'une limite ; il faut conserver l'intervalle ouvert ]0, 1[ dans un raisonnement exact.
La suite ne reste pas toujours entre 0 et 1. Si 0 ≤ xn ≤ 1, le produit xn(1 − xn) atteint au plus 1/4. Le seuil r = 4 est donc charnière : avec 0 ≤ r ≤ 4, le terme suivant reste dans l'intervalle ; au-delà, certaines valeurs en sortent. Il faut contrôler r avant d'interpréter xn comme une proportion.
Déterministe ne signifie pas prévisible à long terme. La règle fixe exactement chaque terme, mais certaines valeurs de r rendent l'évolution chaotique et très sensible à la valeur initiale. L'exemple avec r = 3 oscille puis se rapproche de 2/3 ; il n'illustre pas le chaos. Il faut donc étudier le paramètre au lieu de généraliser depuis une seule trajectoire.
Pour aller plus loin
sigmoïde — Reconnaître la famille de courbes en S à laquelle appartient la fonction logistique.
système dynamique — Situer la suite logistique parmi les règles qui font évoluer un état étape après étape.
chaos déterministe — Préciser comment une règle exacte peut produire une trajectoire très sensible aux conditions initiales.
Dynamique des populations : pallier le manque de données — Prolonger le modèle élémentaire vers les difficultés rencontrées avec des populations réelles.
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