multiplication per crocetta

Pour calculer 23 × 14, on place les chiffres de 23 et de 14 côte à côte, en laissant de l'espace entre eux. Des traits relient les chiffres qui se croisent. Le produit 3 × 4 donne les unités, puis 3 × 1 et 2 × 4 se combinent pour les dizaines. Enfin, 2 × 1 donne les centaines. Les retenues passent d'un rang au suivant, et le résultat apparaît directement, sans tableau de produits intermédiaires.

La multiplication per crocetta, aussi appelée per casella, organise les produits selon les croisements des chiffres des deux facteurs. Chaque rang du résultat rassemble les produits dont les positions s’additionnent. Ainsi, les unités donnent le rang des unités ; les deux produits mixtes, celui des dizaines. Les rangs suivants suivent la même règle.

Dans cette fiche, le premier facteur est 23 et le second est 14. Les chiffres sont donc 2 dizaines et 3 unités, puis 1 dizaine et 4 unités. Les produits élémentaires sont 3 × 4, 3 × 1, 2 × 4 et 2 × 1. Le procédé conserve mentalement les retenues et les ajoute au fur et à mesure. Il donne le même résultat que la multiplication posée, mais sans faire apparaître un tableau intermédiaire.

La méthode relève des procédés historiques de calcul. La source l'attribue à l'une des huit méthodes décrites par Luca Pacioli dans la Summa de arithmetica et indique qu'un procédé avait déjà été décrit par Fibonacci dans le Liber Abaci de 1202.

On applique la multiplication per crocetta à 23 × 14. Les données sont : 23 = 2 dizaines + 3 unités ; 14 = 1 dizaine + 4 unités.

Le croisement des unités fournit 3 × 4 = 12. Le chiffre 2 occupe le rang des unités et la retenue 1 passe au rang suivant.
Les deux croisements mixtes fournissent 3 × 1 = 3 et 2 × 4 = 8. Leur somme vaut 3 + 8 + 1 = 12. Le chiffre 2 occupe le rang des dizaines et la retenue 1 passe encore au rang suivant.
Le croisement des dizaines fournit 2 × 1 = 2, auquel on ajoute la retenue 1 : 2 + 1 = 3.

Le résultat est donc 23 × 14 = 322. Le contrôle reprend la distributivité : 23 × 14 = 23 × 10 + 23 × 4 = 230 + 92 = 322.

Sur une feuille, la méthode sert à garder les deux facteurs visibles tout en calculant les rangs du produit par croisements. Pour 23 × 14, les quatre produits élémentaires restent les mêmes que dans l'exemple : 3 × 4, 3 × 1, 2 × 4 et 2 × 1.

La représentation par traits aide à suivre l'origine de chaque rang. Lorsque l'objectif est surtout de calculer vite avec des nombres usuels, la multiplication posée est une alternative plus familière ; elle se préfère si les croisements et les retenues deviennent difficiles à suivre.

Dans une lecture historique, la méthode sert à reconnaître une manière ancienne de présenter un calcul. Le geste important est alors d'identifier les produits qui se croisent, puis de vérifier le résultat par une multiplication connue.

La multiplication per crocetta ne se confond pas avec la multiplication posée. Les deux méthodes calculent le même produit, mais la première rassemble les produits par croisements et écrit le résultat directement, tandis que la seconde aligne des produits intermédiaires décalés. Le cas 23 × 14 tranche : quatre produits élémentaires sont regroupés par rang dans la per crocetta, alors que la méthode posée fait apparaître les lignes correspondant à 23 × 4 et 23 × 10.

Le cas d'un facteur à un seul chiffre réduit la méthode à un calcul de produits successifs : il n'y a plus de croisements entre deux rangs du même facteur. Il reste nécessaire d'ordonner les retenues par rang, sinon un résultat comme 23 × 4 = 92 peut être mal recopié.

Avec des facteurs de plusieurs chiffres, chaque rang rassemble plusieurs produits. Pour 23 × 14, le rang des dizaines reçoit 3 × 1, 2 × 4 et la retenue issue de 3 × 4 ; oublier l'un des deux produits mixtes donne un symptôme immédiat, un chiffre des dizaines trop petit. Il faut alors reprendre les croisements de ce rang avant de continuer.

La méthode écrit le résultat sans tableau intermédiaire, mais cette présentation ne supprime ni les produits élémentaires ni les retenues. Si les traits ou l'espacement rendent leur correspondance incertaine, la multiplication posée fournit une alternative de contrôle plus lisible.

Pour situer cette méthode dans l'histoire des mathématiques, l'article Un patron des polyèdres ! permet de retrouver Luca Pacioli dans un autre contexte mathématique. Le lecteur y gagne un repère sur la diversité des travaux associés à cet auteur.

La note de lecture Redécouvrir le classique de Fibonacci ouvre un prolongement vers le Liber Abaci, auquel la source rattache une description antérieure du procédé.