pavage de Penrose

Imaginez un sol couvert sans trou ni chevauchement. Dans un carrelage ordinaire, un petit groupe de carreaux peut être déplacé d'une même distance pour retrouver exactement le dessin. Un pavage de Penrose échappe à cette répétition régulière : aucune translation non nulle ne reproduit tout le décor.

Le désordre n'est pourtant qu'apparent. Chaque groupe fini de pièces revient ailleurs, et certaines compositions font apparaître cinq directions autour d'un centre. Deux familles de pièces suffisent dans les versions les plus connues : cerfs-volants et fléchettes, ou losanges fins et gros.

Un pavage de Penrose recouvre le plan sans être périodique : aucune translation non nulle ne superpose le pavage entier à lui-même. Il est quasi-périodique au sens décrit ici : chaque motif fini qui apparaît revient ailleurs, sans fournir pour autant une maille répétée sur un réseau régulier. Certaines compositions centrées présentent une symétrie d'ordre 5. Une rotation de 72°, soit $2\pi \mathrm{/}52\backslash pi/5$, les ramène alors sur elles-mêmes. Cette symétrie globale n'est pas une propriété de toute réalisation possible d'un pavage de Penrose.

Trois types principaux se distinguent par leurs pièces. Dans sa présentation usuelle, P1 associe quatre formes : le pentagone, l'étoile à cinq branches, le bateau et le losange ; leur découpage peut varier selon la convention de présentation. P2 emploie deux quadrilatères complémentaires : le cerf-volant, convexe, et la fléchette, concave. P3 utilise deux losanges, l'un fin et l'autre gros. Les pièces de P2 et P3 peuvent être décomposées en deux sortes de triangles isocèles, les triangles d'or, dont certains côtés sont dans le rapport du nombre d'or.

Roger Penrose a découvert ces pavages dans les années 1970. D'abord étudiés comme jeu mathématique récréatif, ils ont pris une importance nouvelle après la découverte des quasi-cristaux en 1984, car l'organisation atomique de ceux-ci est analogue à cette structure ordonnée sans périodicité.

Testons une composition centrée annoncée comme symétrique d'ordre 5. Les données sont un centre O, un motif témoin asymétrique et un angle de rotation de 72°. Le motif asymétrique permet de voir son orientation, et pas seulement sa position.

1. Plaçons le premier motif témoin autour du centre O.

2. À partir de la position initiale, appliquons quatre rotations successives de 72°, toujours dans le même sens. La figure représente cinq positions distinctes : la position initiale et les quatre images tournées.

3. Appliquons une cinquième fois la rotation de 72° : l'angle total vaut 5 × 72° = 360°. Le motif revient exactement à sa position et à son orientation initiales.

4. Contrôlons le résultat en superposant chaque position à la suivante après une rotation de 72° : les cinq positions sont permutées et l'ensemble reste inchangé. La composition possède donc une symétrie d'ordre 5 autour de O. Ce test valide la symétrie de cette composition, mais ne suffit pas à prouver qu'un pavage entier est un pavage de Penrose.

Pour lire un dessin de pavage, cherchez d'abord une translation qui remettrait tout le décor sur lui-même. Si une maille se répète à distance fixe, il s'agit d'un pavage périodique ; l'absence d'une telle translation est le premier caractère attendu d'un pavage de Penrose.

Pour reconnaître la variante représentée, inventoriez les formes. Des pentagones et pentagrammes orientent vers P1 ; un cerf-volant convexe associé à une fléchette concave vers P2 ; deux losanges, fin et gros, vers P3. Il faut ensuite examiner leur assemblage, car le seul inventaire des pièces ne caractérise pas le pavage entier.

Pour étudier une organisation à cinq directions, choisissez un centre et appliquez mentalement une rotation de 72°. Si toute la configuration coïncide, la symétrie d'ordre 5 est présente. Une coïncidence limitée à une petite rosace ne permet pas de conclure pour le plan entier.

Pavage quasi-périodique et pavage périodique. Dans un pavage périodique, une même translation non nulle reproduit tout le décor. Dans un pavage de Penrose, des motifs finis réapparaissent, mais aucune translation ne superpose l'ensemble du pavage.

Pavage mathématique et quasi-cristal. Le premier est un recouvrement du plan par des pièces géométriques. Le second possède une structure atomique dont l'organisation est analogue ; la découverte de 1984 a donné aux pavages de Penrose une portée dépassant le jeu récréatif.

Symétrie de rotation et répétition par translation. Une composition peut revenir sur elle-même après un tour de 72° autour d'un centre sans posséder de motif de base translatable sur un réseau régulier. Les deux tests portent sur des déplacements différents.

Une rosace ne décide pas pour tout le plan. Voir cinq branches autour d'un centre prouve au mieux la symétrie de cette zone. Il faut vérifier la coïncidence de la configuration entière avant d'affirmer une symétrie globale.

Les pièces ne suffisent pas. Un dessin composé de cerfs-volants et de fléchettes, ou de losanges fins et gros, n'est pas automatiquement un pavage de Penrose. Il faut aussi contrôler l'assemblage et l'absence de translation globale.

Quasi-périodique ne signifie pas “presque périodique”. Le retour de chaque motif fini ne fournit pas une distance unique qui répéterait tout le pavage. Chercher une maille générale conduit donc au mauvais test.

Un extrait fini masque la non-périodicité. Une image limitée peut toujours suggérer une répétition locale. Pour conclure, il faut raisonner sur le prolongement du pavage, et non sur la seule portion visible.

Éblouissants pavages de Penrose — Observer plus largement les constructions et les effets visuels produits par ces pavages non périodiques.