pavage de type 14

Imaginez un sol recouvert sans trou ni chevauchement par des copies d'une même tuile à cinq côtés. La tuile du pavage de type 14 est un pentagone convexe, mais ses côtés et ses angles ne sont pas tous ceux d'un pentagone régulier. Pour remplir le plan, on peut déplacer cette tuile, la tourner ou la retourner. L'essentiel est de n'utiliser qu'une seule forme de pentagone. Ce pavage appartient à une classification de quinze types de pentagones convexes capables de paver le plan.

Dans cette fiche, « pavage de type 14 » désigne la quatorzième entrée de la classification historique des pavages pentagonaux convexes : son repère est la tuile découverte par Rolf Stein en 1985, placée après treize types déjà mis en évidence et avant le quinzième type découvert en 2015. Ce repère situe l'entrée dans la liste, mais ne se lit pas comme une mesure sur un dessin et ne décrit pas à lui seul tous les angles ou les côtés de la tuile. Le cadre géométrique reste celui d'une tuile pentagonale convexe non régulière qui recouvre le plan avec des copies, sans trou ni recouvrement. Convexe signifie que tout segment reliant deux points de la tuile reste dans celle-ci ; non régulier signifie que le pentagone n'a pas la régularité d'un pentagone régulier.

Les copies peuvent être obtenues par translation, rotation ou réflexion. Ces opérations changent la position ou l'orientation de la tuile, mais pas sa forme géométrique. Le nombre 14 désigne le rang de ce type dans la liste des pavages pentagonaux convexes mis en évidence, et non le nombre de côtés de la tuile : chaque tuile possède cinq côtés. La classification complète en compte quinze au total ; le quinzième type a été découvert en 2015, puis l'absence d'un type supplémentaire a été démontrée.

Pour exercer un contrôle générique de compatibilité, partez d'une portion décrite par les données suivantes : tuile observée, pentagone à cinq côtés, convexe et non régulier ; copies observées, même forme ; changements de position, translations, rotations ou réflexions ; jonctions observées, sans trou ni chevauchement. Reprenez ces données dans l'ordre : comptez les côtés, contrôlez la convexité et la non-régularité, comparez la forme des copies malgré leur orientation, puis vérifiez les jonctions. Mettez ensuite ce résultat en regard du repère propre au type 14 : l'entrée découverte par Rolf Stein en 1985 est la quatorzième de la classification, entre les treize types précédents et le quinzième découvert en 2015. Vous obtenez ainsi deux informations distinctes et refaisables à partir du texte : la portion est compatible avec le mécanisme général, tandis que son rattachement au type 14 repose sur ce repère de classification et non sur le seul dessin.

Dans cette fiche, le rang 14 est une donnée de classification ; il n'est pas produit par les contrôles locaux. Ceux-ci ne suffisent donc pas, à eux seuls, à établir le rang 14 ni à prouver que le pavage se prolonge sur tout le plan. Ce contrôle générique distingue ainsi ce que l'on vérifie sur une portion de ce que fournit l'entrée historique.

Face à une représentation, utilisez cette étape comme un contrôle de compatibilité, pas comme une attribution de rang. Vérifiez que la tuile observée a cinq côtés, qu'elle est convexe et non régulière, puis que les copies conservent cette forme malgré leurs orientations. Contrôlez enfin les jonctions : l'absence de trous et de recouvrements établit ce que montre la portion examinée. Pour situer cette observation dans la classification, comparez ensuite vos constats avec l'entrée textuelle du type 14 et sa donnée historique, comme dans l'exemple guidé. Le rang 14 ne se lit pas dans la seule représentation.

Le pavage de type 14 ne doit pas être confondu avec un pavage réalisé à partir d'un pentagone régulier. Dans le premier cas, le pentagone est convexe mais non régulier. Il ne faut pas non plus confondre le nombre 14 avec le nombre de côtés : 14 indique une position dans une classification, tandis que la tuile possède cinq côtés. Enfin, « un seul type de pentagone » ne signifie pas que toutes les tuiles ont la même orientation. Les translations, rotations et réflexions autorisées produisent précisément des orientations différentes d'une même forme.

Un dessin qui montre quelques pentagones ne prouve pas que le pavage se prolonge sur tout le plan. Il peut présenter une portion sans trou apparent alors qu'une jonction plus éloignée poserait problème. De même, deux pentagones qui se ressemblent ne suffisent pas à établir qu'ils appartiennent au même type : il faut vérifier la forme, et pas seulement l'aspect après une rotation ou une réflexion. La convexité est également une condition : un pentagone concave relève d'une autre question.

La limite avancée porte sur la portée de la classification : la liste des pavages pentagonaux convexes a été complétée par un quinzième type découvert en 2015, puis déclarée exhaustive. Le repère historique situe donc le type 14 dans un ensemble désormais fermé, tandis qu'un dessin ou un contrôle local ne permet pas, à lui seul, de conclure sur l'exhaustivité de cet ensemble ni sur le prolongement du pavage à tout le plan.

Le pavage de type 14 prend place dans une histoire de classification : déterminer tous les pentagones convexes capables de paver le plan a constitué un problème ouvert pendant de nombreuses décennies. L'étude ne consiste donc pas seulement à dessiner une mosaïque ; elle cherche aussi à savoir quelles formes sont possibles et si la liste est complète. Le type 14, découvert par Rolf Stein en 1985, se comprend ainsi comme un élément précis d'un ensemble plus vaste, finalement porté à quinze types après la découverte du quinzième en 2015 et la démonstration qu'il n'en existe pas d'autre.