pavage régulier

Imaginez un sol couvert sans trou ni chevauchement par des carreaux tous identiques. Autour de chaque coin, l'agencement doit se répéter de la même manière. Si les carreaux sont des polygones réguliers d'une seule sorte, ce tour complet peut être obtenu avec six triangles équilatéraux, quatre carrés ou trois hexagones réguliers.

Ces trois configurations sont les seuls pavages réguliers du plan euclidien. Le nombre de carreaux autour d'un sommet change, mais leurs angles remplissent toujours exactement les 360° disponibles.

Un pavage régulier du plan euclidien recouvre tout le plan, sans trou ni chevauchement, avec des copies d'un même polygone régulier. Il exige aussi que tous ses sommets soient équivalents par les symétries du pavage : l'environnement d'un sommet peut être envoyé sur celui de n'importe quel autre. Employer une seule forme de tuile ne suffit donc pas si les sommets n'ont pas tous le même rôle.

Notons n le nombre de côtés de chaque tuile et q le nombre de tuiles qui se rencontrent en un sommet. L'angle intérieur d'un polygone régulier à n côtés vaut ${\alpha }_n=\frac{(n-2){180}^{\circ }}{n}\backslash alpha\_n=\backslash frac\{(n-2)180^\backslash circ\}\{n\}$. Pour fermer exactement le tour d'un sommet, il faut $q{\alpha }_n={360}^{\circ }q\backslash alpha\_n=360^\backslash circ$. Les entiers n et q sont au moins égaux à 3.

Cette condition ne laisse que trois couples : n = 3 et q = 6 pour le pavage triangulaire, aussi appelé équilatéral ; n = 4 et q = 4 pour le pavage carré ; n = 6 et q = 3 pour le pavage hexagonal.

On veut vérifier les trois candidats avec les mêmes données : un triangle équilatéral a un angle de 60°, un carré un angle de 90° et un hexagone régulier un angle de 120°. Un tour complet autour d'un sommet mesure 360°. La figure rend visibles les trois assemblages locaux.

1. Pour les triangles, on calcule 360° ÷ 60° = 6. Six triangles se rejoignent autour de chaque sommet.

2. Pour les carrés, on calcule 360° ÷ 90° = 4. Quatre carrés remplissent le tour.

3. Pour les hexagones, on calcule 360° ÷ 120° = 3. Trois hexagones remplissent le tour.

Le contrôle est refaisable dans chaque cas : le nombre de tuiles multiplié par l'angle intérieur donne 360°. On obtient bien 6 × 60° = 4 × 90° = 3 × 120° = 360°, sans angle restant ni chevauchement au sommet.

Pour reconnaître un pavage régulier sur un motif, observez d'abord une tuile, puis plusieurs sommets. Toutes les tuiles doivent être le même polygone régulier et chaque sommet doit présenter le même arrangement.

Pour tester une forme candidate, mesurez ou calculez son angle intérieur. Divisez ensuite 360° par cet angle : le résultat doit être un entier au moins égal à 3 pour que des copies puissent fermer un sommet sans vide.

Si plusieurs sortes de polygones réguliers apparaissent autour des sommets, décrivez plutôt la configuration de ces polygones. Le motif peut paver le plan, mais il ne répond pas à la définition stricte d'un pavage régulier donnée ici.

Un pavage semi-régulier peut employer plusieurs types de polygones réguliers, alors qu'un pavage régulier n'en emploie qu'un seul. Un sommet entouré alternativement de triangles et de carrés tranche immédiatement : le pavage n'est pas régulier au sens strict de cette fiche.

Un motif composé de polygones réguliers n'est pas automatiquement un pavage régulier. Il faut encore que le motif couvre tout le plan sans trou ni chevauchement et que tous ses sommets soient équivalents par les symétries du pavage.

Le critère des 360° est nécessaire au voisinage d'un sommet, mais il faut encore obtenir un recouvrement de tout le plan et vérifier l'équivalence de tous les sommets. Un dessin local réussi ne suffit pas, à lui seul, à établir qu'un motif entier est un pavage régulier.

Si 360° divisé par l'angle intérieur n'est pas un entier, des copies identiques ne peuvent pas fermer exactement le tour. Avec un pentagone régulier, l'angle vaut 108° et 360° ÷ 108° = 10/3 : trois pentagones laissent 36°, tandis que quatre se chevauchent.

La liste de trois vaut dans le plan euclidien. Changer de géométrie change la somme angulaire disponible et peut donc changer les configurations possibles ; il faut alors refaire le raisonnement dans la géométrie considérée.

Le dossier Éblouissants pavages de Penrose prolonge la découverte vers des pavages qui sortent du cadre régulier étudié ici.