Principe de la somme

Un club propose de choisir une seule activité parmi quatre ateliers d’échecs et trois ateliers de logique. Chaque atelier est une option distincte, et aucun n’appartient aux deux catégories. On peut donc compter les quatre premiers choix, puis les trois autres : cela donne sept choix possibles. Cette addition fonctionne parce que choisir un atelier d’échecs exclut ici de choisir un atelier de logique.

Le principe de la somme est une règle de dénombrement. Il s’applique lorsque les possibilités sont réparties en catégories disjointes, c’est-à-dire sans possibilité commune. Si la première catégorie contient n₁ possibilités et la deuxième n₂ possibilités, choisir un seul élément dans l’une ou l’autre donne n₁ + n₂ possibilités.

Plus généralement, on considère des ensembles de possibilités A₁, A₂, …, A_k. Le symbole |A_i| désigne le nombre d’éléments de la catégorie numéro i. Lorsque deux catégories quelconques n’ont aucun élément commun, le nombre d’éléments de leur réunion est la somme de leurs effectifs :

La règle porte sur un choix parmi des cas alternatifs. Si une même possibilité figure dans plusieurs catégories, l’addition brute la compte plusieurs fois et cette formule ne s’applique plus telle quelle.

Un club demande à chaque participant de choisir un seul atelier. Les données sont les suivantes :
• quatre ateliers d’échecs distincts ;
• trois ateliers de logique distincts ;
• aucun atelier n’appartient aux deux catégories ;
• une inscription porte sur un seul atelier.

1. On sépare les choix en deux ensembles : les quatre ateliers d’échecs et les trois ateliers de logique.
2. On vérifie que ces ensembles sont disjoints : aucune inscription possible n’est comptée dans les deux.
3. On additionne alors leurs effectifs.

Le club offre donc exactement sept choix d’atelier. Pour contrôler le résultat, on peut énumérer les ateliers une seule fois : quatre noms dans la première catégorie, puis trois dans la seconde, soit sept noms distincts au total.

Dans un formulaire, on additionne les nombres d’options lorsque l’utilisateur choisit une seule réponse parmi des rubriques qui ne se chevauchent pas. Si plusieurs réponses peuvent être combinées, une addition ne suffit pas.

Pour inventorier des objets, on peut les répartir en catégories exclusives, compter chaque catégorie, puis additionner. Si un objet porte plusieurs étiquettes, il faut d’abord choisir une partition sans chevauchement ou corriger les doubles comptes.

Dans un problème de combinatoire, le mot « ou » invite à chercher des cas alternatifs. Le bon réflexe consiste à tester si un même résultat peut appartenir à plusieurs cas avant d’additionner leurs nombres.

Principe de la somme et principe du produit. On additionne pour choisir un cas parmi des cas exclusifs ; on multiplie pour enchaîner plusieurs choix. Avec quatre entrées ou trois desserts, il y a sept choix. Avec une entrée puis un dessert, il y a douze menus.

Principe de la somme et formule d’inclusion-exclusion. La somme directe exige des ensembles disjoints. Si deux ensembles se chevauchent, l’inclusion-exclusion retranche l’effectif de leur intersection. Une personne inscrite dans deux listes est ainsi comptée une seule fois, et non deux.

Chevauchement caché. Si un même choix apparaît dans deux catégories, la somme brute le compte deux fois. Le symptôme est qu’une même possibilité reçoit deux descriptions. Il faut rendre les catégories disjointes ou retrancher le chevauchement.

Catégorie vide. Une catégorie impossible apporte zéro possibilité. Par exemple, quatre choix dans un premier cas et aucun dans le second donnent encore quatre choix : 4 + 0 = 4. Il ne faut ni supprimer les choix existants ni inventer une option.

Descriptions non atomiques. Deux intitulés différents peuvent cacher le même résultat, tandis qu’un intitulé peut regrouper plusieurs résultats. Avant de compter, il faut préciser ce qui constitue une possibilité distincte, puis vérifier que chacune apparaît exactement une fois.

dénombrement. Cette notion replace la règle additive parmi les techniques qui servent à compter des possibilités sans omission ni double compte.

La combinatoire, hier et aujourd'hui Entretien avec Pierre Duchet. Cet entretien ouvre sur le domaine plus vaste auquel appartient ce principe de comptage.