problème d'ajustement

Imaginez quatre points placés sur un graphique. Ils ne sont pas parfaitement alignés, mais une droite semble suivre leur tendance. Le problème d'ajustement consiste à choisir, parmi les courbes autorisées, celle qui passe globalement le plus près de ces points.

Il faut donc préciser deux choix : la famille de courbes, par exemple les droites, et la manière de mesurer les écarts. La courbe retenue résume la relation observée sans prétendre que chaque point lui appartient exactement.

Dans le cadre bivarié quantitatif retenu dans cette fiche, un problème d'ajustement porte sur des couples de valeurs observées : une variable quantitative explicative et une variable quantitative à modéliser. On fixe d'abord une famille de fonctions, puis on cherche dans cette famille celle qui rend les valeurs calculées aussi proches que possible des observations selon un critère donné. Le mot « meilleur » n'a donc de sens qu'après avoir choisi la famille et la mesure des écarts.

Lorsque la famille contient les fonctions affines, on obtient un ajustement linéaire. D'autres choix conduisent à un ajustement logarithmique, exponentiel ou polynomial. Pour le critère courant des moindres carrés, chaque écart entre une valeur observée et la valeur calculée est élevé au carré, puis les carrés sont additionnés. Si les observations sont les couples (x_i, y_i) et si f est une fonction candidate, la quantité minimisée est :

Une fonction ajustée peut simplifier la tendance, fournir une estimation entre les observations au moyen du modèle ou prolonger la tendance au-delà par extrapolation. Cette estimation n'est pas une interpolation exacte : la fonction ajustée n'est généralement pas tenue de passer par les points observés. L'extrapolation exige une prudence particulière, car les données ne garantissent pas que la même relation persiste hors de leur domaine.

On observe quatre couples sans unité : (1, 2), (2, 3), (3, 5) et (4, 4). On choisit la famille des fonctions affines et le critère des moindres carrés. La fonction cherchée s'écrit avec une pente a et une ordonnée à l'origine b : $f(x)=ax+bf(x)=ax+b$.

1. La moyenne des quatre valeurs de x vaut 2,5 et celle des quatre valeurs de y vaut 3,5.
2. La somme des produits des écarts aux moyennes vaut 4 ; la somme des carrés des écarts des x vaut 5.
3. La pente vaut donc a = 4 ÷ 5 = 0,8.
4. L'ordonnée à l'origine vaut b = 3,5 − 0,8 × 2,5 = 1,5.

La droite ajustée est $f(x)=\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,5}f(x)=0\{,\}8x+1\{,\}5$. Elle donne successivement 2,3 ; 3,1 ; 3,9 et 4,7. Les écarts observé moins calculé sont −0,3 ; −0,1 ; 1,1 et −0,7. La figure rend visibles ces écarts verticaux.

Le contrôle consiste à additionner leurs carrés : 0,09 + 0,01 + 1,21 + 0,49 = 1,80. À titre de vérification, la fonction constante égale à la moyenne 3,5 donnerait une somme de 5. Dans la famille choisie, la droite calculée est bien celle qui minimise la somme des carrés.

Pour résumer un nuage de points presque rectiligne, on ajuste une droite. Si les écarts autour de cette droite semblent répartis sans structure nette, le modèle linéaire offre un résumé lisible de la tendance.

Lorsqu'une courbure apparaît dans le nuage, une famille exponentielle, logarithmique ou polynomiale peut mieux convenir. Le choix se fonde sur la forme du phénomène et sur les écarts résiduels, pas seulement sur l'apparence flatteuse d'une courbe.

Pour estimer une valeur dans la plage observée, on peut utiliser la fonction ajustée. Contrairement à une interpolation exacte, elle n'est pas tenue de passer par les points observés. Pour prévoir au-delà des valeurs observées, elle fournit une extrapolation, mais il faut alors vérifier que le mécanisme étudié reste plausible dans cette nouvelle zone.

Ajustement et interpolation. Une interpolation impose généralement que la fonction passe par les points utilisés, tandis qu'un ajustement autorise des écarts. Avec les quatre observations de l'exemple, la droite ajustée vaut 2,3 pour x = 1 alors que la valeur observée vaut 2 : elle n'interpole donc pas ces données.

Ajustement et extrapolation. L'ajustement construit la fonction à partir des observations ; l'extrapolation emploie ensuite cette fonction hors de la plage observée. Calculer f(5) avec des données limitées à x compris entre 1 et 4 est une extrapolation, pas un nouveau calcul d'ajustement.

Ajustement et corrélation. Un coefficient de corrélation mesure l'intensité et le sens d'une association selon un cadre précis. Un ajustement fournit une fonction. Deux jeux de données peuvent présenter une association comparable tout en conduisant à des fonctions ajustées différentes.

Famille mal choisie. Une structure courbe dans les écarts à une droite signale que la famille linéaire décrit mal les données. Il faut examiner une famille compatible avec le phénomène plutôt que conclure que toute relation est faible.

Point très influent. Avec seulement quatre observations, une valeur éloignée peut déplacer fortement la droite des moindres carrés, car les grands écarts sont mis au carré. Il faut inspecter les données, rechercher une erreur éventuelle et comparer une méthode robuste si ce point est légitime.

Ajustement parfait. Une somme des carrés égale à 0 signifie seulement que tous les points observés appartiennent à la fonction retenue. Elle ne prouve ni une loi causale ni la validité du modèle pour de nouvelles observations.

Extrapolation lointaine. Une faible erreur sur l'intervalle x allant de 1 à 4 ne garantit rien pour x = 40. Hors de la plage observée, il faut justifier la stabilité du mécanisme ou renoncer à une prévision chiffrée.

L'ajustement linéaire approfondit le cas où la famille candidate est celle des fonctions affines.

La droite des moindres carrés détaille le critère qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux.

La régression linéaire replace la droite ajustée dans un cadre statistique où les écarts sont modélisés.