ArithmétiqueNotion · Glossaire
problème de Bachet de Méziriac
Claude-Gaspard Bachet de Méziriac est l'auteur d'un recueil de problèmes mathématiques intitulé Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres. Cet ouvrage présente une grande variété de problèmes arithmétiques et combinatoires, souvent habillés sous forme de jeux ou de tours de magie, comme « deviner le nombre qu'une personne a pensé ». Ces problèmes constituent l'un des premiers recueils récréatifs de mathématiques en langue française et témoignent du goût de l'époque pour la résolution de problèmes par les nombres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier ce que recouvre l’expression « problème de Bachet de Méziriac » dans cette fiche.
- Distinguer l’auteur, son recueil et un problème particulier.
- Reconnaître l’articulation entre habillage récréatif et résolution par les nombres.
- Lire avec prudence le cas du nombre pensé sans inventer une procédure absente de la source.
En clair
Une personne pense à un nombre et le garde secret. Le défi consiste à retrouver ce nombre : l’énoncé ressemble à un jeu ou à un tour de magie, tandis que sa résolution passe par les nombres.
C’est l’esprit des problèmes réunis par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac. Dans Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, l’arithmétique et la combinatoire se présentent sous une forme récréative. Le plaisir de la surprise conduit ainsi à une véritable recherche de solution.
Définition
Dans cette fiche, un problème de Bachet de Méziriac désigne l’un des problèmes mathématiques rassemblés par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac dans Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres. L’expression ne désigne donc pas ici un théorème unique ni un seul énoncé canonique. Elle renvoie à un ensemble varié de récréations mathématiques en langue française.
Ces problèmes relèvent de l’arithmétique ou de la combinatoire. Leur particularité tient aussi à leur présentation : une question de nombres peut prendre la forme d’un jeu ou d’un tour de magie. « Deviner le nombre qu’une personne a pensé » en fournit l’exemple donné par la source. L’habillage crée la surprise ; le cœur du problème reste une résolution par les nombres. Cette articulation entre défi plaisant et raisonnement mathématique explique la place du recueil parmi les premiers ouvrages récréatifs de mathématiques en français.
Un exemple, pas à pas
Prenons le cas cité dans la source : « deviner le nombre qu’une personne a pensé ». Le résumé ne livre pas le protocole du tour ; on peut néanmoins déterminer précisément pourquoi ce cas appartient au corpus de Bachet.
Données.
Une personne a pensé à un nombre.
Le résultat attendu est ce nombre.
Le problème est présenté comme un jeu ou un tour.
Le recueil rassemble des problèmes arithmétiques et combinatoires.
Une personne a pensé à un nombre.
Le résultat attendu est ce nombre.
Le problème est présenté comme un jeu ou un tour.
Le recueil rassemble des problèmes arithmétiques et combinatoires.
1. Repérez l’habillage : la pensée secrète et l’annonce d’une devinette produisent l’effet de surprise.
2. Isolez l’objet mathématique : ce qui doit être retrouvé est un nombre. En l’absence du protocole de résolution, cela ne suffit pas à classer ce cas parmi les problèmes arithmétiques.
3. Séparez le but de la méthode. Le but est connu, mais les opérations permettant de l’atteindre ne figurent pas dans le résumé disponible ; aucune procédure précise ne peut en être déduite.
4. Contrôlez la lecture avec deux critères : la présentation est récréative et la résolution annoncée se fait par les nombres. Ces deux éléments suffisent à rattacher l’exemple au projet du recueil, sans inventer le tour lui-même.
Un exemple refaisable. Pour manipuler ce type de raisonnement sans l’attribuer à Bachet, prenez ce mini-tour pédagogique : choisissez un nombre, doublez-le, ajoutez 10, divisez le résultat par 2, puis soustrayez le nombre de départ. Le résultat est toujours 5.
Calcul. Avec 7 comme nombre de départ : le double vaut 14 ; après l’ajout de 10, on obtient 24 ; la division par 2 donne 12 ; enfin, 12 moins 7 donne bien 5.
Vérification. Si le nombre choisi est noté n, le double augmenté de 10 vaut 2n + 10. En divisant par 2, on obtient n + 5 ; soustraire le nombre de départ n laisse donc 5. Le résultat ne dépend pas du nombre choisi.
En pratique
Pour lire une récréation de Bachet, commencez par séparer l’histoire racontée de la question mathématique. Si l’énoncé met en scène une devinette, cherchez quel nombre, choix ou arrangement doit réellement être déterminé.
Pour classer le problème, observez la nature du travail demandé. Un calcul sur des nombres oriente vers l’arithmétique ; un dénombrement ou un agencement de possibilités oriente vers la combinatoire.
Pour refaire une solution, utilisez l’énoncé complet plutôt qu’un titre ou un bref résumé. Dans le cas du nombre pensé, le résumé identifie le but, mais il ne donne pas les opérations nécessaires pour retrouver le nombre.
À ne pas confondre
Bachet de Méziriac et un problème de son recueil. Claude-Gaspard Bachet de Méziriac est l’auteur ; le problème est un énoncé mathématique publié dans son ouvrage. Le nom d’une personne dans la requête désigne l’auteur, tandis qu’une consigne à résoudre désigne un problème.
Le recueil et le problème particulier. Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres rassemble une grande variété de problèmes. « Deviner le nombre qu’une personne a pensé » n’est qu’un exemple : on ne peut pas réduire tout l’ouvrage à ce seul défi.
L’habillage magique et le contenu mathématique. La forme peut évoquer un tour de magie, mais le critère décisif est la résolution par les nombres. Dans l’exemple du nombre pensé, la surprise appartient à la présentation ; le nombre à retrouver constitue l’objet mathématique.
Limites et pièges
Le singulier peut tromper. Le titre de la fiche dit « problème », alors que la source décrit une grande variété d’énoncés. Avant de chercher une formule unique, vérifiez de quel problème du recueil il est question.
Un résumé ne suffit pas pour rejouer un tour. Savoir qu’il faut deviner un nombre ne donne ni les informations recueillies ni les opérations à effectuer. Le symptôme est simple : aucune suite de calculs n’est fournie. Il faut alors consulter l’énoncé complet.
« L’un des premiers » ne signifie pas « le premier ». La source situe l’ouvrage parmi les premiers recueils récréatifs de mathématiques en français. Transformer cette formulation en priorité absolue ajouterait une affirmation que le dossier ne permet pas d’établir.
Une présentation commune n’impose pas une méthode commune. Le recueil mêle arithmétique et combinatoire. Le bon réflexe consiste à identifier la question précise avant de choisir un raisonnement, plutôt qu’à appliquer une recette supposée universelle.
Pour aller plus loin
Arithmétique. Situer les calculs sur les nombres qui forment l’un des deux grands ressorts mathématiques du recueil.
Analyse combinatoire. Approfondir le dénombrement et l’organisation des possibilités, l’autre famille de problèmes explicitement présente chez Bachet.
La magie des nombres. Prolonger le lien entre calcul, surprise et présentation récréative dans un article de Tangente.
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