problème des partis

Deux joueurs ont posé la même somme sur la table. Le premier qui gagne trois manches doit emporter la mise, mais le jeu s'arrête alors que le score est de 2 à 1. Couper l'argent en deux ignorerait l'avance déjà acquise.

Le problème des partis cherche un partage qui reflète les chances de victoire encore détenues par chacun. On imagine les manches qui auraient pu suivre, on compte les issues favorables, puis on partage la mise dans les mêmes proportions.

Le problème des partis est un problème de partage d'enjeux après l'interruption d'un jeu de hasard. Deux joueurs ont misé chacun une même somme, notée m, et le premier qui atteint trois victoires doit gagner la mise totale 2m. L'interruption survient avant cette troisième victoire. Un partage équitable attribue à chaque joueur la fraction de 2m correspondant à sa probabilité de gagner si le jeu se poursuivait selon les mêmes règles.

Le calcul dépend donc du score atteint et des probabilités des manches futures. Dans le cas symétrique où chaque manche indépendante donne à chacun une chance sur deux de gagner, il suffit d'énumérer des suites équiprobables assez longues pour que la victoire soit nécessairement décidée. Le mot « parti » signifie ici le partage des enjeux ; une « partie » est ce que l'on nommerait aujourd'hui une manche.

Soumis à Pascal par le chevalier de Méré, le problème fut formalisé dans la correspondance de Pascal avec Fermat en 1654. Pascal le traita aussi dans son Traité du triangle arithmétique, en utilisant le triangle pour déterminer les partages. Huygens puis Jacques Bernoulli l'ont approfondi ; cet épisode est reconnu comme l'un des points de départ de la théorie des probabilités.

Alice mène 2 manches à 1 contre Basile. La rencontre s'arrête, alors que le premier joueur arrivé à 3 victoires devait recevoir toute la mise. Les manches futures sont supposées indépendantes et chaque joueur a une chance sur deux de gagner chacune d'elles.

Données
Alice et Basile ont misé chacun m ; le total vaut 2m.
Alice a besoin d'une victoire supplémentaire.
Basile a besoin de deux victoires supplémentaires.
Deux manches au plus suffiraient pour désigner le gagnant.

1. On prolonge fictivement le jeu sur deux manches, même si la rencontre réelle s'arrêterait dès la victoire décisive. Les quatre suites équiprobables sont AA, AB, BA et BB. Alice gagne dans les trois premières ; Basile ne gagne que dans BB.

2. Les probabilités de victoire d'Alice et de Basile sont donc :

3. On applique ces proportions à la mise totale :

Alice reçoit donc 3m/2 et Basile m/2. Le contrôle est immédiat : les deux parts totalisent bien 2m, et leur rapport 3 contre 1 reproduit celui des issues favorables.

Pour régler l'interruption d'une rencontre, on note d'abord le score, le nombre de victoires encore nécessaires et la probabilité de chaque manche. On énumère ensuite les continuations possibles. Si le règlement prévoit au contraire l'annulation et le remboursement, cette clause remplace le partage probabiliste.

Pour contrôler une proposition de partage, deux tests suffisent dans le cas symétrique : les parts doivent totaliser la mise, et leur rapport doit égaler celui des chances de victoire. Un partage moitié-moitié ne convient que lorsque les deux joueurs ont encore la même probabilité de gagner.

Dans un texte historique, il faut enfin lire « parti » comme le partage des enjeux et « partie » comme une manche. Cette distinction évite d'attribuer au problème un sens politique absent de son contexte.

Partage équitable et partage égal. Un partage égal donne la moitié de la mise à chacun, quel que soit le score. Un partage équitable tient compte des chances de victoire au moment de l'arrêt. À 2 manches contre 1 dans le cas symétrique, les chances valent 3/4 contre 1/4 : les deux partages ne coïncident donc pas.

Parti et partie. Dans le vocabulaire historique du problème, le parti est la répartition de la mise, tandis que la partie est une manche. Demander « quel parti prendre ? » porte donc sur les parts d'argent, non sur le résultat d'une manche supplémentaire.

Probabilités mal précisées. Le partage 3/4 contre 1/4 suppose des manches indépendantes et deux joueurs de même force. Si leurs chances diffèrent ou dépendent des résultats précédents, les quatre suites ne sont plus équiprobables ; il faut employer les probabilités prévues par le modèle du jeu.

Victoire déjà acquise. Le problème historique impose une interruption avant que l'un des joueurs atteigne 3 victoires. Au seuil de 3, la rencontre est terminée : il n'y a plus de chances futures à partager selon l'état du jeu.

Suites prolongées fictivement. Dans l'exemple, AB désigne une suite de comptage, pas deux manches réellement jouées après qu'Alice a obtenu sa troisième victoire. Ce prolongement artificiel sert seulement à former quatre cas de même probabilité.

Mises différentes. La formulation source suppose que chaque joueur a versé la même somme m. Si les mises sont inégales ou si un contrat fixe une autre restitution, il ne faut pas recopier les parts 3m/2 et m/2 : le total et la règle de partage doivent être redéfinis.

L’art du partage équitable prolonge la question du partage lorsque l'égalité des parts ne suffit pas à définir l'équité.

L'émergence du calcul des probabilités replace la correspondance entre Pascal et Fermat dans la naissance du calcul probabiliste.