problème des treize boules

Imaginez une boule entourée de boules exactement aussi grosses, chacune venant toucher celle du milieu sans traverser ses voisines. Douze trouvent place autour de la boule centrale. La question historique était de savoir si l'on pouvait réorganiser l'ensemble pour en glisser une treizième.

Même si les douze boules ne sont pas toutes serrées les unes contre les autres, l'espace restant est trop morcelé pour accueillir une boule supplémentaire de même rayon. Schütte et Van der Waerden ont établi en 1953 que douze est le maximum.

Le problème des treize boules, aussi appelé problème des treize sphères, porte sur des sphères de même rayon dans l'espace à trois dimensions. On fixe une sphère centrale et l'on cherche combien de sphères identiques peuvent être simultanément tangentes à sa surface, sans que leurs intérieurs se chevauchent. Ce maximum est un nombre de contact.

Si le rayon commun est noté r, le centre de chaque sphère extérieure se trouve à la distance 2r du centre de la sphère centrale. Pour éviter tout chevauchement, deux centres extérieurs doivent rester séparés d'au moins 2r. Le problème revient donc à placer le plus grand nombre possible de points sur une sphère de rayon 2r, sous cette contrainte de distance.

Newton affirmait en 1694 que douze sphères extérieures étaient possibles mais pas treize, contrairement à David Gregory. Schütte et Van der Waerden ont démontré en 1953 que le maximum est bien 12. Cette conclusion suppose que toutes les sphères, centrale comprise, ont le même rayon. Si le rayon de la sphère centrale augmente suffisamment tandis que celui des sphères extérieures reste inchangé, treize contacts deviennent possibles. Le problème est local, autour d'une sphère ; la conjecture de Kepler concerne, elle, la densité d'un empilement dans tout l'espace.

Prenons une sphère centrale de rayon 1 et des sphères extérieures de rayon 1. Le contact se traduit par une condition exacte sur leurs centres. Les données sont les suivantes : le rayon commun vaut 1 ; chaque sphère extérieure touche la centrale ; les sphères extérieures ne doivent pas se chevaucher.

1. La distance entre le centre central et chaque centre extérieur vaut 1 + 1 = 2.
2. Tous les centres extérieurs appartiennent donc à la sphère de rayon 2 centrée sur le centre central.
3. Deux centres extérieurs doivent être distants d'au moins 2 ; à la distance 2, leurs sphères se touchent, et en dessous de 2 elles se chevauchent.
4. On cherche combien de points satisfaisant cette séparation peuvent tenir sur cette sphère.
5. Le théorème de Schütte et Van der Waerden donne le verdict : 12 points conviennent, mais 13 sont impossibles.

Le résultat est donc un maximum de 12 sphères extérieures de rayon 1. Pour contrôler le modèle, il suffit de vérifier les deux distances : 2 entre le centre central et chaque centre extérieur, au moins 2 entre deux centres extérieurs.

Face à un assemblage de boules identiques autour d'une boule centrale, on repère d'abord les contacts réels. Si toutes ont le même rayon et doivent toucher la centrale sans se chevaucher, le nombre à retenir dans l'espace est 12.

Pour tester une configuration, on travaille avec les centres plutôt qu'avec les surfaces courbes. La tangence à la sphère centrale impose une distance de 2r, et l'absence de chevauchement impose au moins 2r entre centres extérieurs.

Si les rayons ne sont pas tous égaux, le verdict 12 ne s'applique plus tel quel. Il faut alors reprendre les sommes de rayons pour chaque contact ; une sphère centrale suffisamment plus grande peut notamment recevoir treize sphères extérieures tangentes.

Avec la conjecture de Kepler. Le problème des treize boules demande un nombre maximal de contacts autour d'une seule sphère. La conjecture de Kepler compare la densité d'empilements qui remplissent l'espace. Une configuration locale de douze voisines relève du premier problème ; une proportion de volume occupé relève du second.

Avec un problème plan de disques. Ici, les centres se placent dans l'espace tridimensionnel, pas sur un cercle dans un plan. Un dessin en coupe aide à lire une tangence, mais ne suffit pas à décider combien de sphères entourent réellement la sphère centrale.

Rayons inégaux. Le seuil de 12 suppose que la sphère centrale et les sphères extérieures ont le même rayon. Si la centrale est suffisamment agrandie, treize sphères extérieures de l'ancien rayon peuvent la toucher. Il faut alors recalculer les distances entre centres au lieu de réutiliser le seuil 12.

Tangences entre voisines. Chaque sphère extérieure doit toucher la centrale, mais elle n'a pas à toucher toutes les autres. Le symptôme d'une mauvaise lecture est d'exiger la même distance pour chaque paire extérieure. La bonne condition est une distance au moins égale à la somme de leurs rayons.

Portée du résultat. Le maximum local de 12 ne donne pas, à lui seul, la densité maximale d'un empilement infini. Pour une question de volume occupé dans tout l'espace, il faut étudier l'empilement global associé à la conjecture de Kepler.

L'article Empilement de sphères : replace la question locale des contacts dans l'étude plus large des arrangements de sphères dans l'espace.