Riesz (lemme de)

Imaginez une règle graduée dans un espace de vecteurs : F est une zone droite et fermée, mais elle ne remplit pas tout l'espace E. Le lemme de Riesz garantit qu'on peut choisir, sur la sphère unité, un point x presque à une distance 1 de cette zone. Pour chaque valeur de ε, le lemme peut fournir un vecteur unitaire x éventuellement différent, qui s'éloigne presque au maximum de F. Cette idée fabrique des vecteurs qui ne peuvent pas tous se concentrer les uns près des autres, ce qui révèle la différence entre espaces de dimension finie et infinie.

Le lemme de Riesz concerne un espace de Banach E, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet, et un sous-espace F qui est fermé et strict : F est contenu dans E, mais F n'est pas égal à E. Pour tout nombre réel ε vérifiant 0 < ε < 1, il existe un vecteur x de norme 1 dont la distance à F est strictement supérieure à 1 − ε. La distance à F est l'infimum des distances entre x et les vecteurs de F ; elle est donc définie même si aucun vecteur de F n'est le plus proche.

Le résultat ne fournit pas nécessairement un point unique : plusieurs vecteurs peuvent convenir. Son intérêt est structurel. En dimension infinie, on peut l'appliquer successivement à des sous-espaces fermés stricts emboîtés pour construire des vecteurs unitaires qui restent séparés. Cette séparation sert à montrer que la boule unité, formée des vecteurs de norme au plus 1, n'est pas compacte. En dimension finie, la situation est différente : la boule unité est compacte.

Soit E un espace de Banach et F un sous-espace fermé strict de E. Pour tout ε tel que 0 < ε < 1, on peut trouver un vecteur x dans E satisfaisant simultanément ‖x‖ = 1 et

Ici, ‖x‖ désigne la norme de x et dist(x,F) sa distance au sous-espace F. Le verdict est donc l'existence d'un vecteur unitaire presque à distance 1 de F.

Le domaine est un espace de Banach E, muni d'une norme, et le sous-espace F doit être fermé et strict. La fermeture garantit que F ne laisse pas échapper sa limite ; le caractère strict garantit qu'il existe au moins une direction de E qui n'appartient pas à F. Le nombre ε doit être strictement positif et strictement inférieur à 1. Le résultat donne un vecteur de norme 1 et une distance à F supérieure à 1 − ε.

Un sous-espace qui n'est pas fermé ne satisfait pas directement les hypothèses. Un sous-espace égal à E bloque aussi la conclusion : la distance de tout vecteur à E vaut 0, alors que 1 − ε est positif. Dans ces cas, il faut d'abord remplacer le sous-espace par un sous-espace fermé strict approprié, si le problème étudié en fournit un.

Dans le plan euclidien E = ℝ², prenons F comme l'axe horizontal. Cet espace est complet pour sa norme usuelle, et F est fermé et strict. Choisissons ε = 0,2 et le vecteur x = (0,1).

Données : ε = 0,2 ; x = (0,1) ; F est l'axe horizontal ; ‖x‖ = 1.

La norme de x vaut √(0² + 1²) = 1.
Le point de F le plus proche de x est (0,0).
La distance de x à F vaut √((0 − 0)² + (1 − 0)²) = 1.
Le seuil demandé vaut 1 − ε = 1 − 0,2 = 0,8.
On vérifie que 1 > 0,8 : le vecteur x convient donc au lemme.

Le contrôle est refaisable en mesurant verticalement la distance entre (0,1) et l'axe horizontal : elle vaut bien 1, tandis que la norme de x vaut également 1.

Pour tester si le lemme peut s'appliquer, on identifie d'abord l'espace normé E et le sous-espace F. On vérifie ensuite que F est fermé et qu'il ne coïncide pas avec E.

Pour une démonstration de non-compacité, on choisit un ε adapté puis on construit des vecteurs unitaires successifs, chacun restant séparé du sous-espace déjà construit. Le critère observable est l'absence de concentration d'une suite dans une même région de la boule unité.

Si l'espace est de dimension finie, le lemme de Riesz n'est pas l'outil attendu pour conclure à la non-compacité de la boule unité : cette conclusion est précisément la signature du cadre de dimension infinie.

Le lemme de Riesz ne se confond pas avec le théorème de représentation de Riesz dans un espace de Hilbert. Le critère qui les sépare est leur conclusion : le lemme construit un vecteur unitaire éloigné d'un sous-espace fermé strict, tandis que le théorème de représentation décrit une forme linéaire continue par un produit scalaire. Dans un exercice, la présence d'une distance à un sous-espace peut orienter vers le lemme ; celle d'une forme linéaire peut orienter vers l'autre résultat, mais il faut vérifier les hypothèses et la conclusion précises.

Il ne se confond pas non plus avec le théorème de Riesz–Fischer. Le premier traite ici de la séparation entre un vecteur et un sous-espace fermé ; le second intervient dans des questions de complétude et de représentation de suites ou de fonctions. Le type de conclusion permet de trancher avant tout calcul.

Le seuil 1 − ε est strictement inférieur à 1, car ε doit être positif. Demander une distance supérieure ou égale à 1 sans marge supplémentaire n'est pas la conclusion du lemme. Le bon réflexe consiste à fixer un ε non nul avant de vérifier l'inégalité stricte.

Le mot « fermé » est une hypothèse active. Si F est seulement un sous-espace, mais qu'il n'est pas fermé, la distance minimale peut ne pas être atteinte et l'énoncé ne s'applique pas tel quel. Il faut alors examiner sa fermeture avant de conclure.

Le cas F = E est exclu par le mot strict. Dans ce cas, dist(x,F) = 0 pour tout x, alors que 1 − ε > 0. Ce contre-cas montre que la non-égalité des deux espaces n'est pas un détail de vocabulaire.

La non-compacité de la boule unité n'est pas une conséquence dans tout espace normé : la source la rattache au cas de dimension infinie. En dimension finie, la boule unité est compacte ; il faut donc conserver la qualification « de dimension infinie ».

Le lemme de Riesz ouvre sur une idée centrale de l'analyse fonctionnelle : en dimension infinie, la boule unité peut contenir des directions unitaires qui restent durablement séparées. Cette lecture relie la distance à un sous-espace fermé à la distinction entre comportements de dimension finie et infinie, sans ajouter une hypothèse au lemme lui-même.