série de fonctions

Imaginez une fonction qui ajoute une petite contribution à chaque étape. La première somme partielle contient la première contribution, la suivante en contient deux, puis trois, et ainsi de suite. Une série de fonctions décrit cette accumulation lorsque chaque contribution dépend d’un nombre x choisi dans un domaine A. Pour chaque x, on peut regarder si les sommes se stabilisent. On peut aussi vérifier si elles se stabilisent de la même manière partout dans A : c’est l’idée de la convergence uniforme.

Une série de fonctions est construite à partir d’une suite de fonctions (fₙ)ₙ∈ℕ. La fonction fₙ est définie sur une partie non vide A de ℝ ou de ℂ et prend ses valeurs dans ℝ ou dans ℂ. Pour chaque entier k≥0, la somme partielle Fₖ additionne les fonctions d’indice 0 à k :

La convergence simple signifie que, pour un x fixé dans A, la suite numérique ou complexe (Fₖ(x)) converge lorsque k grandit. La limite peut dépendre de x et définit alors la somme de la série au point considéré. La convergence uniforme sur A demande une stabilisation simultanée, avec un même contrôle de l’erreur pour tous les x de A. On peut également l’étudier sur chaque compact de A. Ces modes de convergence ne sont pas équivalents : la convergence uniforme entraîne la convergence simple, tandis que la réciproque est fausse en général.

Une série de fonctions comporte quatre éléments liés. Le domaine A précise les points où chaque fonction peut être évaluée. La suite (fₙ) fournit les contributions successives. L’indice n repère une contribution, tandis que l’indice k repère la dernière contribution retenue dans une somme partielle. Enfin, Fₖ est la fonction obtenue en additionnant f₀ jusqu’à fₖ. Le domaine détermine donc les valeurs possibles de chaque Fₖ, et la suite des fonctions détermine son évolution quand k augmente.

Ces données suffisent à calculer toute somme partielle et à tester sa limite point par point. Elles ne suffisent pas, à elles seules, à conclure à une convergence uniforme : il faut encore contrôler l’erreur sur tout le domaine considéré. Le choix de A n’est pas un simple décor ; une même suite peut converger uniformément sur un sous-domaine et ne pas converger uniformément sur un domaine plus grand.

Considérons A=[0,1/2] et, pour chaque entier n, la fonction fₙ définie par fₙ(x)=xⁿ. Les données sont le domaine [0,1/2], le premier indice 0, le rang final k et la variable x. Pour une somme partielle de rang k, on obtient :

La première opération consiste à additionner les k+1 puissances de x. La deuxième consiste à utiliser la formule de la somme géométrique, valable ici car x≠1. La troisième consiste à faire grandir k : pour chaque x de [0,1/2], x^k+1 tend vers 0. La limite est donc :

Le contrôle est uniforme : sur [0,1/2], l’erreur vaut x^k+1/(1−x), donc elle est au plus (1/2)^k+1/(1−1/2)=(1/2)^k. Cette borne tend vers 0 et ne dépend pas du point x.

Pour étudier une série de fonctions, on commence par fixer un point x et par examiner la série obtenue en remplaçant chaque fonction par sa valeur en x. Ce geste teste la convergence simple.

Lorsque la convergence doit être contrôlée sur un intervalle ou un ensemble entier, on cherche une borne de l’erreur qui ne dépend pas de x. Une majoration uniforme est alors préférable à une vérification séparée point par point.

Pour obtenir des propriétés de régularité de la somme, comme la continuité dans les situations où le théorème applicable le permet, on vérifie les hypothèses du résultat utilisé. Si le domaine est non borné ou si le contrôle se dégrade près d’un point, l’étude sur des compacts peut être l’alternative pertinente.

La convergence simple et la convergence uniforme ne désignent pas le même contrôle. Dans la première, le rang à partir duquel l’erreur devient petite peut dépendre du point x. Dans la seconde, un même rang convient à tous les points du domaine. La série fₙ(x)=xⁿ sur [0,1[ converge simplement pour chaque x, mais elle ne converge pas uniformément sur cet intervalle : les points proches de 1 retardent la stabilisation.

Une série de fonctions ne doit pas être confondue avec une suite de fonctions. La suite (fₙ) fournit les termes, tandis que la série étudie les sommes partielles Fₖ. Le test qui tranche consiste donc à demander si l’on observe les contributions fₙ ou leur accumulation Fₖ.

Sur [0,1[, la série de fonctions donnée par fₙ(x)=xⁿ converge simplement, car chaque x fixé vérifie |x|<1. Pourtant, le contrôle uniforme échoue : si F(x)=1/(1−x) et Fₖ(x)=Σₙ₌₀ᵏ xⁿ, alors l’erreur vaut F(x)−Fₖ(x)=x^k+1/(1−x). Pour tout rang k, son supremum sur [0,1[ vaut +∞ : elle n’admet donc pas d’erreur maximale finie, encore moins une erreur qui tend vers 0. Il faut restreindre le domaine, ou travailler sur un compact [0,a] avec a<1.

Une convergence uniforme sur un domaine ne se déduit pas d’une convergence uniforme sur chacun de ses points, puisque cette dernière expression n’a pas de sens : un point ne forme pas un domaine de comparaison. Il faut examiner une borne commune sur l’ensemble choisi.

La convergence uniforme de la série ne garantit pas automatiquement toutes les opérations de régularité. Pour dériver ou intégrer terme à terme, il faut des hypothèses supplémentaires adaptées au théorème invoqué. La bonne pratique consiste à vérifier séparément le domaine, la convergence et les conditions de régularité.

Un prolongement naturel consiste à comparer plusieurs modes de convergence. La convergence simple décrit la limite à chaque point ; la convergence uniforme fournit un contrôle global. On dit qu’une série de fonctions converge normalement sur A lorsqu’il existe une suite de nombres positifs (Mₙ) telle que |fₙ(x)|≤Mₙ pour tout x∈A et que la série numérique ΣMₙ converge. Cette majoration globale permet notamment de préserver des propriétés de la somme, selon le théorème utilisé.