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suite de Conway
La suite de Conway part de 1 et chaque terme décrit le précédent en le lisant de gauche à droite. On le découpe en groupes maximaux de chiffres identiques consécutifs, puis on remplace chaque groupe par son nombre de chiffres suivi du chiffre concerné. Cette règle permet de construire et de vérifier le terme suivant.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Découper un terme en groupes maximaux de chiffres identiques consécutifs.
- Construire les termes de 1 à 312211 dans le bon ordre.
- Contrôler un résultat et reconnaître les erreurs de regroupement ou d'ordre.
En clair
Posez devant vous le terme 111221 et lisez-le de gauche à droite. Vous voyez d'abord trois chiffres 1, puis deux chiffres 2, puis un chiffre 1. En disant successivement « trois 1 », « deux 2 » et « un 1 », vous écrivez 31, 22 et 11. Leur réunion donne 312211.
La suite de Conway répète ce geste : chaque nouveau terme raconte les groupes consécutifs du précédent.
Définition
La suite de Conway est une suite de chaînes de chiffres, appelée aussi suite audioactive ou « look and say ». Son terme initial est 1. Pour construire le terme suivant, on parcourt le terme courant de gauche à droite et on le découpe en groupes maximaux de chiffres identiques consécutifs.
Chaque groupe est remplacé par deux informations écrites dans cet ordre : le nombre de chiffres du groupe, puis la valeur du chiffre répété. Les descriptions obtenues sont ensuite accolées sans séparateur. Ainsi, 21 contient un chiffre 2 puis un chiffre 1 : sa description est 12 suivie de 11, soit 1211.
Cette règle porte sur l'écriture du terme, pas sur sa valeur comme entier. Introduite par John Horton Conway en 1986, la suite commence par 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …
De quoi c'est fait
La construction repose sur quatre éléments. Le terme courant fournit la chaîne à lire. Les groupes maximaux rassemblent seulement les chiffres égaux qui se suivent. Le compte indique la longueur de chaque groupe, tandis que la valeur indique le chiffre répété. Enfin, la concaténation place toutes les descriptions dans leur ordre de lecture.
Le compte dépend donc du découpage en groupes, et chaque valeur dépend du chiffre observé dans son groupe. L'ordre des groupes commande l'ordre des morceaux du terme suivant. Ces données suffisent à construire ce terme sans effectuer d'addition entre les chiffres.
Un exemple, pas à pas
On part du terme 1 et l'on cherche cinq termes supplémentaires. Les seules données sont le terme initial et la règle « nombre de chiffres, puis valeur du chiffre » pour chaque groupe consécutif.
1. Le terme 1 contient un chiffre 1 : on écrit 11.
2. Le terme 11 contient deux chiffres 1 : on écrit 21.
3. Le terme 21 contient un chiffre 2, puis un chiffre 1 : on écrit 1211.
2. Le terme 11 contient deux chiffres 1 : on écrit 21.
3. Le terme 21 contient un chiffre 2, puis un chiffre 1 : on écrit 1211.
4. Le terme 1211 se découpe en 1 | 2 | 11 : on écrit 111221.
5. Le terme 111221 se découpe en 111 | 22 | 1 : on écrit 312211.
5. Le terme 111221 se découpe en 111 | 22 | 1 : on écrit 312211.
Le résultat est donc la succession 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211. Pour contrôler chaque passage, redécoupez le terme de départ en groupes consécutifs et vérifiez que chaque groupe produit exactement un couple « compte, valeur ».
En pratique
Dans un test de logique, commencez par lire chaque terme à voix haute en regroupant les chiffres identiques qui se suivent. Cette lecture est préférable à la recherche de différences numériques lorsque les termes visibles sont 1, 11, 21 et 1211.
Pour prolonger la suite à la main, tracez une séparation dès que le chiffre change. Inscrivez sous chaque groupe son effectif puis son chiffre, et accolez les couples obtenus.
Pour vérifier une réponse, repartez du terme précédent plutôt que de chercher un motif global. Si une séparation coupe deux chiffres identiques voisins ou réunit deux chiffres différents, le terme produit est incorrect.
À ne pas confondre
Une suite obtenue par calcul sur les valeurs. Dans la suite de Conway, 11 ne devient pas 21 par addition, multiplication ou différence : 21 code « deux chiffres 1 ». Le critère décisif est que chaque terme décrit l'écriture du précédent.
Un terme qui se décrit lui-même. L'expression « auto-descriptive » peut induire en erreur : dans la construction donnée, le terme produit décrit le terme précédent. Par exemple, 1211 décrit 21, puisqu'il signifie « un 2, un 1 ».
Limites et pièges
Les groupes doivent être consécutifs. Dans 1211, les trois chiffres 1 ne forment pas un seul groupe, car le chiffre 2 les sépare. Le bon découpage est 1 | 2 | 11, et non un comptage global des chiffres.
Le compte précède toujours la valeur. Un groupe de deux chiffres 1 donne 21, jamais 12. Le cas charnière 11 permet de contrôler immédiatement cette convention.
Le terme initial fait partie de la définition donnée. La suite présentée ici démarre à 1. Partir d'une autre chaîne applique le même geste de description, mais ne reproduit pas la succession 1, 11, 21, 1211, …
Pour aller plus loin
L'article La suite audioactive prolonge l'étude de cette construction et de la lecture « look and say » au-delà des premiers termes.
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