Sur-additive (suite)

Imaginez une quantité qui grandit lorsque l’on assemble deux morceaux d’une suite. Pour deux rangs positifs m et n, la valeur obtenue au rang m + n est au moins aussi grande que la somme des deux valeurs séparées. La suite garde donc une mémoire favorable de l’assemblage : réunir les rangs ne fait pas perdre de quantité. Cette propriété s’appelle la sur-additivité. Elle aide ensuite à comprendre pourquoi la croissance moyenne par rang peut se stabiliser, ou augmenter sans borne.

Une suite réelle est une liste de nombres réels indexés par des entiers positifs. On l’écrit (a_n)_n≥1, où a_n désigne le terme de rang n. Cette suite est sur-additive lorsque, pour tous entiers positifs m et n, son terme de rang m + n vérifie l’inégalité suivante : $a_{m+n}\ge a_m+a_{n}a\_\{m+n\}\backslash ge\; a\_m+a\_n$.

La condition compare la valeur obtenue après regroupement à la somme des valeurs obtenues séparément. Elle ne demande pas que les termes soient positifs : la propriété porte sur l’inégalité et peut concerner des termes réels. Elle est la notion duale de la sous-additivité, où le signe de comparaison est inversé. Le lemme de Fekete sur les suites sur-additives affirme que $a_n\mathrm{/}na\_n/n$ converge vers le supremum des rapports $a_n\mathrm{/}na\_n/n$, avec la possibilité que cette limite soit +∞.

Quatre éléments structurent la notion. Les termes a_n sont les valeurs de la suite, et leur indice n indique le rang. Les deux rangs positifs m et n sont les morceaux que l’on rassemble. Le rang composé m + n détermine le terme placé à gauche de la comparaison, tandis que a_m + a_n fournit sa borne inférieure.

Les indices m et n déterminent donc ensemble le rang composé, puis ce rang détermine le terme a_m+n. La comparaison entre ce terme et la somme est la relation qui définit la structure. Ces données suffisent à tester la propriété sur des couples de rangs choisis et à former les rapports de croissance $a_n\mathrm{/}na\_n/n$.

Considérons la suite définie par $a_n=n^{2}a\_n=n^2$ pour les rangs positifs. Prenons m = 2 et n = 3. Les données sont a₂ = 4, a₃ = 9 et a₅ = 25, car 2 + 3 = 5.

1. Le rang composé vaut 2 + 3 = 5.
2. Le terme correspondant vaut a₅ = 5² = 25.
3. La somme des termes séparés vaut a₂ + a₃ = 4 + 9 = 13.
4. La comparaison donne 25 ≥ 13 : l’inégalité de sur-additivité est vérifiée pour ce couple.

Le contrôle consiste à recalculer le terme du rang 5 et la somme des termes de rangs 2 et 3. Pour cette suite, l’écart observé est 25 − 13 = 12. Un seul couple ne suffit pas à prouver la propriété pour tous les rangs, mais il montre concrètement le mécanisme de comparaison.

En analyse, on peut tester une suite candidate en calculant a_m+n et a_m + a_n pour des couples de rangs, puis rechercher une preuve valable pour tous les couples. La comparaison exacte, plutôt qu’une impression donnée par quelques termes, est le bon geste.

Pour étudier une croissance à long terme, on examine les rapports a_n/n. Le lemme de Fekete fournit alors une information globale sur leur limite. Si l’on cherche seulement une intuition numérique, un tableau de valeurs convient ; pour conclure, il faut revenir à l’inégalité générale et à ses hypothèses.

La sur-additivité ne doit pas être confondue avec la sous-additivité. Dans le premier cas, le terme au rang composé est au moins égal à la somme des deux termes séparés ; dans le second, il lui est au plus égal. Pour trancher, on regarde le sens de l’inégalité : la suite a_n = n² vérifie 25 ≥ 13 pour les rangs 2 et 3, ce qui illustre le premier cas.

Une vérification sur quelques couples ne suffit pas à établir la sur-additivité. Elle peut révéler un comportement compatible sans garantir l’inégalité pour tous les entiers positifs m et n. Le symptôme est une conclusion universelle tirée d’un tableau fini ; il faut chercher une preuve générale ou un contre-exemple.

Le lemme de Fekete ne promet pas nécessairement une limite finie. Le supremum des rapports $a_n\mathrm{/}na\_n/n$ peut être +∞. Il faut donc conserver cette possibilité lorsque l’on interprète la convergence : une suite de rapports peut croître sans borne au lieu de tendre vers un nombre réel.

Enfin, la source parle d’entiers positifs pour les indices. Inclure l’indice 0 ou des indices négatifs sans préciser une extension changerait le domaine de la définition. Le bon réflexe consiste à vérifier d’abord quels rangs sont autorisés avant d’appliquer l’inégalité.

Le lemme de Fekete prolonge directement cette fiche : il explique pourquoi les rapports de la suite par leur rang convergent vers leur supremum, éventuellement infini. Le lecteur y gagne le résultat général qui transforme une comparaison locale entre termes en information sur la croissance à long terme.