théorème de Nagell-Lutz

Sur la courbe d’équation y² = x³ + 1, le point (2, 3) revient au point de départ après six additions selon la loi de la courbe. La loi de groupe, présentée dans la fiche courbe elliptique, est la règle qui permet d’effectuer ces additions. Le point est donc d’ordre fini, ou « de torsion ». Le théorème de Nagell-Lutz impose alors un filtre arithmétique très strict : ses deux coordonnées doivent être entières. De plus, si la coordonnée verticale n’est pas nulle, son carré doit diviser un entier calculé à partir de l’équation, appelé discriminant. Le théorème réduit ainsi une recherche parmi tous les points rationnels affines à une liste finie de candidats entiers.

Le théorème de Nagell-Lutz est un critère nécessaire pour les points rationnels de torsion d’une courbe elliptique donnée par une équation cubique entière. Considérons une courbe C d’équation $y^2=x^3+a{x}^2+bx+c=f(x)y^2=x^3+ax^2+bx+c=f(x)$, où les coefficients a, b et c sont des entiers. La courbe doit être non singulière, c’est-à-dire que le polynôme cubique f n’a pas de racine multiple.

Si un point rationnel P de coordonnées (x, y) est d’ordre fini pour la loi de groupe de C, alors x et y sont des entiers. Deux cas subsistent. Si y = 0, le point est d’ordre 2. Sinon, le carré y² divise le discriminant D du polynôme f :

Le critère élimine donc beaucoup de points rationnels, mais sa réciproque est fausse en général : avoir des coordonnées entières et satisfaire la divisibilité ne suffit pas à garantir un ordre fini. Le résultat appartient à la géométrie diophantienne, qui étudie les solutions arithmétiques au moyen de la géométrie algébrique.

Soit une courbe non singulière d’équation $y^2=x^3+a{x}^2+bx+cy^2=x^3+ax^2+bx+c$, avec a, b et c entiers. Si un point rationnel P = (x, y) est d’ordre fini pour la loi de groupe de la courbe, alors x et y sont entiers. En outre, soit y = 0 et P est d’ordre 2, soit y est non nul et y² divise le discriminant $D=-4a^{3}c+a^2{b}^2+18abc-4b^3-27c^{2}D=-4a^3c+a^2b^2+18abc-4b^3-27c^2$ du polynôme cubique.

Le critère s’applique à une équation cubique dont les trois coefficients a, b et c sont entiers. Il faut aussi que la courbe soit non singulière : le discriminant D est alors non nul. Enfin, le point étudié doit avoir des coordonnées rationnelles et être supposé d’ordre fini pour la loi de groupe de la courbe. Sous ces hypothèses, le théorème fournit des conditions sur ses coordonnées ; il ne prouve pas à lui seul que le point est de torsion.

Si D = 0, la cubique possède une singularité et n’est pas une courbe elliptique dans ce modèle : le théorème ne s’applique pas. Si les coefficients sont rationnels plutôt qu’entiers, il faut d’abord chercher un modèle entier approprié ; appliquer directement le test de divisibilité à l’équation initiale n’est pas justifié.

Étudions la courbe C d’équation y² = x³ + 1 et le point P = (2, 3). Les coefficients annoncés sont a = 0, b = 0 et c = 1. Le point appartient à C, car 3² = 2³ + 1 = 9.

1. Le discriminant du polynôme x³ + 1 vaut $D=-27D=-27$. Les coordonnées de P sont entières et le carré 3² = 9 divise −27, puisque −27 = (−3) × 9 : P franchit le filtre de Nagell-Lutz.

2. Pour vérifier l’ordre, la tangente en P a pour pente $m=3x^2\mathrm{/}(2y)=2m=3x^2/(2y)=2$. La formule d’addition donne 2P = (0, 1).

3. Pour additionner P et 2P, la pente vaut $m=(1-3)\mathrm{/}(0-2)=1m=(1-3)/(0-2)=1$. Les formules d’addition donnent alors $x_{3P}=1^2-2-0=-1x\_\{3P\}=1^2-2-0=-1$ et $y_{3P}=1(2-(-1))-3=0y\_\{3P\}=1(2-(-1))-3=0$, donc 3P = (−1, 0). Ce point est d’ordre 2, donc 6P est le point neutre O. Comme ni P, ni 2P, ni 3P n’est O, le point P est exactement d’ordre 6. Le contrôle refaisable consiste à substituer (2, 3), (0, 1) et (−1, 0) dans l’équation : les trois égalités sont vérifiées. La figure rassemble ces trois multiples sur la même courbe.

Pour chercher les points de torsion d’une courbe elliptique entière, on calcule d’abord le discriminant. Les diviseurs carrés possibles de D fournissent les valeurs candidates de y ; l’équation permet ensuite de tester les valeurs entières de x. Cette recherche finie remplace une exploration sans borne des coordonnées rationnelles.

Chaque candidat doit encore être additionné sur la courbe. Si ses multiples atteignent le point neutre O, son ordre est fini. S’ils ne l’atteignent pas, le simple fait que ses coordonnées soient entières ne permet aucune conclusion positive.

Quand le modèle donné a des coefficients non entiers ou n’est pas sous la forme cubique requise, le bon geste est de changer d’abord de modèle. Le test porte sur un modèle entier admissible, pas sur une écriture choisie au hasard.

Point rationnel et point de torsion. Un point rationnel a des coordonnées rationnelles ; un point de torsion revient au point neutre après un nombre fini d’additions. Sur une courbe elliptique, un point rationnel peut donc être d’ordre infini.

Critère nécessaire et critère suffisant. Nagell-Lutz dit ce que tout point rationnel de torsion doit vérifier. Un point entier dont le carré de l’ordonnée divise D n’est qu’un candidat : il faut encore calculer ses multiples pour conclure.

Discriminant du polynôme et discriminant d’un modèle elliptique. Dans l’énoncé utilisé ici, D est le discriminant du cubique f. D’autres conventions multiplient cette valeur par un facteur fixe ; la formule affichée permet de savoir quelle convention intervient dans le test.

Discriminant nul. Lorsque D = 0, le cubique a une racine multiple et la courbe est singulière. Il faut alors étudier cette courbe par d’autres outils, car le cadre elliptique de l’énoncé disparaît.

Ordonnée nulle. La divisibilité par y² ne doit pas être appliquée avec y = 0. Ce cas charnière est traité séparément : le point (x, 0), s’il appartient à la courbe, est d’ordre 2.

Réciproque abusive. Les conditions d’intégralité et de divisibilité ne certifient pas la torsion. Leur réussite impose de poursuivre avec la loi de groupe ; leur échec, en revanche, exclut immédiatement un point rationnel de torsion.

Modèle inadéquat. Un changement de variables peut modifier les coefficients, les coordonnées entières et la valeur du discriminant. Avant tout test, il faut vérifier que l’équation employée est bien un modèle entier de la forme annoncée.

La fiche courbe elliptique présente l’objet géométrique, sa loi de groupe et le cadre dans lequel les points de torsion sont définis.