Logique et ensemblesNotion · Glossaire
vérité de Kripke
Dans la théorie de Kripke, un langage peut contenir son propre prédicat de vérité sans contradiction si l’évaluation admet des phrases indéterminées. On part d’une interprétation partielle et l’on réapplique une opération sémantique monotone jusqu’à un point fixe, où aucune nouvelle valeur de vérité n’est attribuée. Cette construction permet de traiter les phrases autoréférentielles sans les forcer à être vraies ou fausses.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Suivre une construction de vérité par étapes sur trois énoncés.
- Reconnaître le point fixe d'une interprétation sémantique.
- Distinguer le cadre de Kripke de la hiérarchie de Tarski.
- Identifier les phrases qui peuvent rester indéterminées.
En clair
Imaginez trois cartes. La première porte « 1 = 1 ». La deuxième affirme que la première carte dit vrai. La troisième affirme la même chose de la deuxième. On commence par reconnaître la première comme vraie, sans employer le mot « vrai » dans son énoncé.
Cette première décision rend ensuite la deuxième carte vraie, puis la troisième. La vérité de Kripke organise cette propagation par étapes. Quand une nouvelle étape n'ajoute plus aucune décision, on a atteint un point fixe.
Définition
La sémantique de la vérité proposée par Kripke s'applique à un langage qui possède son propre prédicat « est vrai ». Au lieu d'attribuer immédiatement vrai ou faux à chaque énoncé, elle part d'une interprétation partielle. Les énoncés de base déjà déterminés forment l'étape initiale ; les énoncés parlant de leur vérité peuvent alors recevoir une valeur à l'étape suivante.
Notons Iα l'interprétation partielle à l'étape α : chaque énoncé y est vrai, faux ou encore indéterminé. L'opération F conserve les valeurs déjà fixées et évalue les énoncés que l'étape précédente permet de déterminer. La construction répète Iα+1 = F(Iα) et, aux étapes limites, réunit les valeurs déterminées jusque-là. Un point fixe I* est atteint lorsque l'application de F ne change plus l'interprétation : .
Le langage peut ainsi parler de la vérité sans que chaque phrase reçoive forcément une valeur. Une phrase autoréférentielle problématique, telle que le paradoxe du menteur, peut rester indéterminée au point fixe plutôt que produire une contradiction. Le stade précis de stabilisation dépend du langage et des règles sémantiques retenues.
Un exemple, pas à pas
Considérons trois énoncés : E0 dit « 1 = 1 » ; E1 dit « E0 est vrai » ; E2 dit « E1 est vrai ». Chaque énoncé ne dépend que du précédent.
1. À l'étape 0, l'égalité 1 = 1 suffit à classer E0 comme vrai.
2. À l'étape 1, la valeur de E0 rend E1 vrai.
3. À l'étape 2, la valeur de E1 rend E2 vrai.
4. L'étape suivante ne rencontre aucun autre énoncé à classer : l'interprétation est stable.
2. À l'étape 1, la valeur de E0 rend E1 vrai.
3. À l'étape 2, la valeur de E1 rend E2 vrai.
4. L'étape suivante ne rencontre aucun autre énoncé à classer : l'interprétation est stable.
Le contrôle est refaisable en remontant les dépendances : E2 est vrai parce que E1 est vrai, E1 l'est parce que E0 est vrai, et E0 repose sur l'égalité de départ. Cet exemple fini atteint donc son point fixe après le classement des trois énoncés.
En pratique
Face à une phrase qui parle de vérité, on repère d'abord ses dépendances. Si elle ne renvoie qu'à des énoncés déjà évalués, l'itération fournit une valeur à une étape ultérieure. Une attribution immédiate convient seulement lorsqu'aucune dépendance non résolue ne subsiste.
Face à une boucle autoréférentielle, on évite de forcer le choix entre vrai et faux. Si aucune étape ne fonde la valeur de la phrase, l'interprétation partielle la laisse indéterminée ; ce diagnostic remplace la recherche d'une valeur classique à tout prix.
Pour vérifier qu'une construction est terminée, on applique encore une fois l'opération sémantique. Si l'ensemble des valeurs attribuées reste identique, le point fixe est atteint ; sinon, il faut poursuivre l'itération.
À ne pas confondre
Vérité de Kripke et hiérarchie de Tarski. Dans une hiérarchie tarskienne, le prédicat de vérité d'un niveau s'applique au langage du niveau inférieur. Chez Kripke, un même langage peut contenir son propre prédicat de vérité, mais l'évaluation reste partielle. Une phrase parlant de sa propre vérité relève du second cadre, pas d'un simple changement de niveau.
Point fixe sémantique et théorème du point fixe. Ici, un point fixe est une interprétation que l'opération d'évaluation ne modifie plus. Ce n'est pas, par ce seul fait, l'énoncé géométrique ou analytique garantissant qu'une fonction possède un point x tel que f(x) = x.
Limites et pièges
Une phrase peut rester sans valeur. Le symptôme est qu'aucune étape ne fournit de fondement à « vrai » ou à « faux ». Il faut alors conserver l'indétermination au lieu de conclure que la phrase est fausse.
L'autoréférence ne suffit pas à créer une contradiction. Les trois énoncés E0, E1 et E2 montrent qu'une référence à la vérité peut se stabiliser. Il faut examiner la chaîne de dépendances, et non rejeter toute phrase qui mentionne sa propre langue.
« Une infinité dénombrable d'étapes » ne signifie pas toujours l'étape ω. Une construction transfinie peut devoir continuer au-delà des étapes finies. Il faut préciser le langage, l'opération sémantique et l'étape de clôture avant d'annoncer où survient la stabilisation.
Un point fixe n'est pas nécessairement unique. La construction menée depuis l'interprétation initiale la moins engagée sélectionne un point fixe minimal. Pour savoir quelle interprétation est visée, il faut donc préciser le point de départ et les règles d'évaluation.
Pour aller plus loin
Le paradoxe du menteur montre pourquoi certaines phrases autoréférentielles résistent à une valeur classique.
La fiche Tarski Alfred replace la séparation entre langage objet et métalangage dans son contexte logique.
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