Angelo Genocchi

Une suite de nombres peut raconter deux histoires à la fois : celle d’un mathématicien et celle d’une formule. Angelo Genocchi a donné son nom à une suite d’entiers dont les premiers termes sont 1, −1, 0, 1, 0, −3, 0 et 17.

En regardant cette liste, on remarque déjà un rythme : après le premier terme, les termes d’indice impair sont nuls. Son parcours mène Genocchi du droit, étudié à l’université de Piacenza, aux mathématiques à Turin à partir de 1848. Il y occupe successivement une chaire d’algèbre et de géométrie en 1859, d’analyse supérieure en 1860, puis de calcul infinitésimal en 1862. Spécialiste de théorie des nombres, il collabore ensuite avec Giuseppe Peano, assistant en 1881-1882, dont la contribution à la rédaction de l’ouvrage publié sous le seul nom de Genocchi en 1884 est importante.

Angelo Genocchi est un mathématicien italien dont les recherches relèvent principalement de la théorie des nombres. Le nom de Genocchi désigne aussi une suite d’entiers, notée G_n, définie par une relation génératrice :

Dans cette écriture, t est la variable de la série, n parcourt les entiers à partir de 1, et G_n est le coefficient associé au terme tⁿ/n!. La suite commence par 1, −1, 0, 1, 0, −3, 0, 17. Pour tout indice impair n strictement supérieur à 1, le terme G_n est nul. La source relie enfin ces nombres aux nombres de Bernoulli B_n, avec la convention B₁ = −1/2, par l’identité :

On veut lire correctement les premiers nombres de Genocchi fournis par la source, sans confondre le rang et la valeur.

Les données sont les suivantes : la suite commence au rang 1 ; les huit valeurs annoncées sont 1, −1, 0, 1, 0, −3, 0 et 17.

On peut contrôler le sixième terme avec le lien aux nombres de Bernoulli, plutôt que de le relire dans la liste. Comme B₆ = 1/42, l’identité donne G₆ = 2(1 − 2⁶)B₆ = 2(1 − 64) × 1/42 = −3. Le calcul retrouve donc la valeur annoncée au rang 6.

Pour contrôler la propriété d’annulation, on regarde les rangs impairs supérieurs à 1 présents dans cette liste : G₃ = 0, G₅ = 0 et G₇ = 0. La lecture confirme donc la règle annoncée sur ces trois rangs.

Pour identifier un terme de la suite, on commence par son rang n, puis on lit la valeur G_n correspondante. Cette convention évite de prendre le sixième terme, −3, pour le nombre −3 placé au rang 6 par hasard.

Pour repérer rapidement un terme nul, on teste son rang. Si le rang est impair et strictement supérieur à 1, la règle donnée par la source conduit à G_n = 0. Pour un rang pair, cette règle ne suffit pas : il faut utiliser la suite ou la relation génératrice.

Pour relier la suite à une autre famille, on utilise les nombres de Bernoulli. La relation donnée par la source fournit alors un cadre commun pour comparer les deux suites, sans remplacer les nombres de Genocchi par les nombres de Bernoulli.

Les nombres de Genocchi ne sont pas les nombres de Bernoulli. Le critère qui les sépare est la notation et la relation qui les relie : G_n désigne le terme de la suite de Genocchi, tandis que B_n désigne le nombre de Bernoulli intervenant dans l’identité G_n = 2(1 − 2ⁿ)B_n, avec la convention B₁ = −1/2. Ainsi, au rang n, il faut conserver les deux symboles et appliquer la relation avant toute comparaison.

Angelo Genocchi ne doit pas être confondu avec Giuseppe Peano. Genocchi est l’auteur signé de l’ouvrage de 1884 mentionné par la source ; Peano fut son assistant en 1881-1882 et contribua largement à la rédaction de cet ouvrage. Les fonctions historiques sont donc distinctes, même si leur collaboration est étroite.

La règle d’annulation ne porte pas sur tous les rangs impairs. Elle s’applique lorsque n est impair et strictement supérieur à 1 ; le premier rang n = 1 est donc un cas charnière, avec G₁ = 1. Il faut vérifier le rang avant de conclure qu’un terme est nul.

La liste des premiers termes ne constitue pas, à elle seule, une définition de toute la suite. Elle permet de contrôler les huit premières valeurs annoncées, mais un rang absent de cette liste doit être traité avec la relation génératrice ou avec la relation aux nombres de Bernoulli.

La relation génératrice est une égalité entre séries, et non une règle où l’on remplace directement t par un rang n. Pour obtenir G_n, il faut lire le coefficient de tⁿ/n! dans le développement de 2t/(e^t + 1).

La théorie des nombres fournit un prolongement naturel pour situer les recherches de Genocchi : l’article Quelques travaux d’Erdős en théorie des nombres montre comment cette branche étudie des propriétés précises des entiers à travers des problèmes et des méthodes variés.