Annihilator of a subset of a ring

Sur une horloge à 12 positions, multiplier puis revenir modulo 12 peut donner zéro. Prenons les deux nombres 4 et 6. Le nombre 6 efface les deux : 6 × 4 = 24 et 6 × 6 = 36, deux multiples de 12. Le nombre 0 fait de même.

Dans l'anneau ℤ/12ℤ, aucun autre nombre n'annule simultanément 4 et 6. L'annulateur de la partie {4, 6} est donc {0, 6}. Il rassemble les multiplicateurs qui font tomber toute la partie sur zéro, et non ceux qui n'en annulent qu'un élément.

Soit A un anneau, dont l'élément nul est noté 0, et soit S une partie de A. L'annulateur à gauche de S réunit les éléments de A dont le produit à gauche avec chaque élément de S vaut zéro. L'annulateur à droite impose la multiplication dans l'ordre opposé. Ces deux ensembles se définissent par :

Lorsque A est commutatif, l'ordre des facteurs ne change rien : les deux ensembles coïncident et se notent Ann(S). Cet ensemble est l'intersection des annulateurs des éléments de S. Dans un anneau non commutatif, l'annulateur à gauche est toujours un idéal à gauche et l'annulateur à droite un idéal à droite. Si S est un idéal bilatère, chacun est un idéal bilatère. Pour un module M sur A, l'annulateur Ann_A(M) est formé des scalaires de A qui envoient tout élément de M sur zéro.

La construction mobilise cinq données. L'anneau ambiant A fournit la multiplication et le zéro. La partie S désigne tous les éléments à annuler. Le côté de multiplication précise si le candidat a est placé avant ou après les éléments de S. La condition universelle exige un produit nul pour chaque élément de S. Enfin, l'ensemble obtenu contient tous les candidats qui passent simultanément ces tests.

Ces rôles sont liés : changer S change la liste des tests, et agrandir S ne peut qu'amenuiser l'annulateur. Plus précisément, l'annulateur commun se calcule en intersectant les annulateurs élémentaires : ${\mathrm{Ann}}_g(S)={\bigcap }_{s\in S}{\mathrm{Ann}}_g(\{s\})\backslash operatorname\{Ann\}\_\{g\}(S)=\backslash bigcap\_\{s\backslash in\; S\}\backslash operatorname\{Ann\}\_\{g\}(\backslash \{s\backslash \})$. Le côté choisi détermine ensuite la stabilité obtenue dans un anneau non commutatif. Ces données suffisent à construire l'annulateur et à vérifier son type d'idéal.

Travaillons dans l'anneau commutatif A = ℤ/12ℤ et prenons la partie S = {4, 6}. Nous cherchons les classes a qui annulent à la fois 4 et 6. Leur intersection constitue l'annulateur de S.

Données.
Anneau : ℤ/12ℤ.
Partie : S = {4, 6}.
Condition : les produits a × 4 et a × 6 doivent être congrus à 0 modulo 12.

Étape 1. Pour annuler 4, le nombre a doit être multiple de 3. Les candidats sont donc 0, 3, 6 et 9. Pour annuler 6, a doit être pair. Les candidats sont 0, 2, 4, 6, 8 et 10.

Étape 2. Gardons les candidats communs aux deux listes : $\{0,3,6,9\}\cap \{0,2,4,6,8,10\}=\{0,6\}\backslash \{0,3,6,9\backslash \}\backslash cap\backslash \{0,2,4,6,8,10\backslash \}=\backslash \{0,6\backslash \}$. Ainsi, Ann(S) = {0, 6}.

Étape 3. Vérifions le candidat non nul : 6 × 4 = 24, qui vaut 0 modulo 12, et 6 × 6 = 36, qui vaut aussi 0 modulo 12. Le candidat 0 annule automatiquement chaque élément.

Contrôle. Le nombre 3 appartient à l'annulateur de 4, mais pas à celui de 6, car 3 × 6 = 18 vaut 6 modulo 12. De même, 2 annule 6 mais pas 4. Ce contrôle confirme qu'il fallait bien intersecter les deux ensembles.

Calculer un annulateur commun. Pour une partie finie, on calcule l'annulateur de chaque élément puis on intersecte les résultats. Dans un petit anneau fini, tester directement tous les éléments est une alternative fiable ; l'intersection devient préférable dès que les annulateurs individuels sont connus.

Tester une action fidèle. Un module M est fidèle lorsque Ann_A(M) = {0}. Si un scalaire non nul agit comme zéro sur tout M, l'action n'est pas fidèle. Le quotient de A par cet annulateur fournit alors l'anneau qui agit fidèlement sur M.

Repérer un diviseur de zéro. Dans un anneau commutatif, un élément non nul s est un diviseur de zéro exactement lorsque son annulateur contient un élément non nul. Si l'on doit annuler plusieurs éléments à la fois, il faut toutefois calculer leur annulateur commun, et non réunir leurs annulateurs séparés.

Annulateur et ensemble des diviseurs de zéro. L'annulateur dépend d'une partie fixée et exige que chacun de ses éléments soit annulé. Dans ℤ/12ℤ, le nombre 3 est un diviseur de zéro et annule 4, mais il n'appartient pas à Ann({4, 6}), car 3 × 6 vaut 6 modulo 12.

Annulateur et idéal engendré. L'idéal engendré par S rassemble les combinaisons obtenues à partir de S ; l'annulateur rassemble les multiplicateurs qui tuent S. Dans ℤ/12ℤ, l'idéal engendré par {4, 6} est {0, 2, 4, 6, 8, 10}, tandis que son annulateur est {0, 6}.

Annulateur et noyau d'une multiplication. Le noyau de la multiplication par un seul élément s donne son annulateur, avec le côté convenable. Pour une partie comportant plusieurs éléments, l'annulateur est l'intersection de ces noyaux : le noyau associé à un seul élément ne suffit plus.

La partie vide impose zéro condition. Par convention logique, tout élément de A annule chacun des éléments de l'ensemble vide ; son annulateur est donc A. La partie {0} a également pour annulateur A, mais parce que tout produit par zéro vaut zéro.

La présence de l'unité réduit l'annulateur. Dans un anneau unitaire, si S contient 1, un candidat a doit satisfaire a × 1 = 0 ou 1 × a = 0. Il en résulte a = 0 : l'annulateur du côté considéré est {0}.

À gauche et à droite peuvent différer. Dans l'anneau des matrices carrées de taille 2, annuler à gauche la matrice E₁₁ impose une première colonne nulle au candidat. L'annuler à droite impose une première ligne nulle. Il faut donc annoncer le côté dans un anneau non commutatif.

Le mot « idéal » demande de préciser le côté. Pour une partie quelconque d'un anneau non commutatif, l'annulateur à gauche est garanti idéal à gauche, pas nécessairement idéal bilatère ; le constat symétrique vaut à droite. L'hypothèse que S est un idéal bilatère permet de conclure que ses annulateurs sont bilatères.

Pour un module M sur un anneau A, l'idéal Ann_A(M) mesure la part de A qui agit sans effet. L'action se factorise par l'anneau quotient A/Ann_A(M), qui agit fidèlement sur M. Cette réduction permet de remplacer l'anneau initial par celui que le module distingue réellement.

Dans un anneau non commutatif, les deux côtés se répondent : toute partie S est contenue dans l'annulateur à droite de son annulateur à gauche. L'inclusion peut être stricte. Étudier les situations où elle devient une égalité mène à des propriétés plus fines des anneaux et des modules.