Bertrand's paradox

Imaginez un cercle et une corde tracée sans viser. Est-elle plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ? Pour répondre, il faut d'abord préciser le geste aléatoire. On peut tirer deux points du bord, choisir la distance de la corde au centre, ou tirer son milieu dans le disque. Ces gestes ne favorisent pas les mêmes cordes. Ils conduisent donc à trois probabilités différentes : 1/3, 1/2 ou 1/4. Le paradoxe de Bertrand montre ainsi que « au hasard » ne suffit pas à définir une expérience probabiliste.

Le paradoxe de Bertrand est un problème de probabilités géométriques portant sur les cordes d'un cercle. Il demande la probabilité qu'une corde tirée au hasard soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit. Le cercle a pour rayon le nombre positif R. Si d désigne la distance du centre à la corde, sa longueur L vérifie $L=2\sqrt{R^2-d^2}L=2\backslash sqrt\{R^2-d^2\}$. Le côté du triangle inscrit mesure $\sqrt{3}R\backslash sqrt\{3\}R$. La corde recherchée satisfait donc .

Ce critère géométrique est unique, mais sa probabilité dépend du modèle de tirage. Deux extrémités indépendantes et uniformes sur le cercle donnent 1/3. Une orientation uniforme et une distance au centre uniforme entre 0 et R donnent 1/2. Un milieu uniforme en aire dans le disque donne 1/4. Chaque résultat est exact pour la mesure de probabilité annoncée. Sans cette mesure, l'expression « une corde au hasard » ne détermine aucune réponse unique.

Dans un cercle de rayon positif R, si la distance d du centre à une corde est strictement inférieure à R/2, alors cette corde est plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ; la réciproque est vraie. Pour transformer ce critère en probabilité, il faut annoncer la loi de tirage des cordes. Selon que l'on uniformise les extrémités, la distance au centre ou le milieu dans le disque, la probabilité vaut respectivement 1/3, 1/2 ou 1/4.

Le problème s'applique aux cordes d'un cercle de rayon positif. Il exige trois données explicites : la manière de représenter une corde, la loi de probabilité choisie sur ces représentations et le seuil de longueur, ici le côté du triangle équilatéral inscrit. Dans chaque modèle, les choix annoncés comme uniformes doivent l'être sur leur domaine précis : circonférence pour les extrémités, intervalle de 0 à R pour la distance, ou aire du disque pour le milieu.

Si l'expérience dit seulement « tracer une corde au hasard », le calcul est bloqué : aucune mesure ne permet de pondérer les cordes. Il faut alors décrire le protocole de tirage avant de calculer. Choisir un milieu uniformément en distance depuis le centre n'est pas équivalent à le choisir uniformément en aire dans le disque.

Considérons un cercle de rayon 1. Le côté du triangle équilatéral inscrit mesure √3. Une corde est choisie par une orientation uniforme, puis par une distance d au centre uniforme entre 0 et 1. La figure rend visible la zone correspondant aux cordes assez longues.

1. La longueur de la corde est $L=2\sqrt{1-d^2}L=2\backslash sqrt\{1-d^2\}$.
2. On impose $2\sqrt{1-d^2}>\sqrt{3}2\backslash sqrt\{1-d^2\}>\backslash sqrt\{3\}$.
3. Comme les deux membres sont positifs, l'inégalité équivaut à $4(1-d^2)>34(1-d^2)>3$, puis à .
4. L'intervalle favorable a donc une longueur de 1/2 dans l'intervalle total de longueur 1. La probabilité vaut exactement 1/2.

Contrôle : pour d = 0,4, la corde mesure $2\sqrt{21}\mathrm{/}52\backslash sqrt\{21\}/5$, soit environ 1,833, supérieur à √3, soit environ 1,732. Le même critère géométrique demeure valable dans les autres modèles, mais la distribution de d change.

Pour simuler l'expérience, on écrit d'abord l'algorithme de tirage. Si le programme choisit deux angles uniformes, il reproduit le modèle des extrémités et doit approcher 1/3 sur un grand nombre d'essais.

Pour un dispositif matériel, on décrit le geste qui produit la corde et les symétries qu'il respecte. Le calcul utilise ensuite la loi réellement engendrée par ce geste, pas une uniformité supposée.

Plus généralement, lorsqu'un problème continu emploie « au hasard », le bon réflexe consiste à nommer l'espace des issues et la mesure de probabilité avant toute opération. Si plusieurs paramétrages sont possibles, on vérifie s'ils induisent la même mesure.

Le paradoxe de Bertrand n'est pas une contradiction logique. Une contradiction ferait obtenir deux conclusions incompatibles sous les mêmes hypothèses. Ici, les hypothèses changent : les trois procédures n'emploient pas la même mesure sur l'espace des cordes. Dès que le protocole est fixé, un seul des résultats 1/3, 1/2 ou 1/4 correspond au modèle.

Le mot « uniforme » ne se transporte pas automatiquement d'un paramétrage à l'autre. Un milieu uniforme en aire est plus souvent éloigné du centre qu'un rayon uniforme entre 0 et R. Le symptôme est une réponse qui change après une nouvelle description prétendument équivalente ; il faut comparer les mesures induites.

Le seuil est strict. À la distance d = R/2, la corde mesure exactement √3R : elle n'est pas plus longue que le côté du triangle. Dans les trois modèles continus décrits, ce cas frontière a une probabilité nulle, mais il reste nécessaire pour écrire correctement le critère.

Une simulation ne valide que son propre générateur. Un résultat proche de 1/4 ne réfute pas 1/3 ; il signale vraisemblablement un tirage uniforme des milieux en aire plutôt que des extrémités sur le cercle. Il faut auditer l'algorithme avant d'interpréter la fréquence observée.

L'article Structurer le hasard prolonge la réflexion sur la manière dont une structure mathématique transforme le hasard en objet calculable.

La note de lecture Probabilité, hasard et destin ouvre un autre accès aux liens entre modèles probabilistes et interprétation du hasard.