builders' rod

Imaginez une canne de chantier portant cinq longueurs inspirées du corps humain. Une paume mesure environ 8 cm, une palme 12 cm, un empan 20 cm, un pied 32 cm et une coudée 52 cm. Ces repères donnent un moyen concret de reporter des dimensions.

Leur enchaînement est l'idée remarquable : 8 et 12 donnent 20, puis 12 et 20 donnent 32. Les rapports entre deux longueurs voisines restent ainsi proches du nombre d'or, sans lui être tous exactement égaux.

La pige des bâtisseurs, aussi nommée canne des bâtisseurs ou virga, est un ancien instrument de mesure articulé destiné à la construction. Sa graduation associe cinq unités corporelles successives : la paume, liée à la largeur de la main ; la palme, liée à l'écartement de l'index à l'auriculaire ; l'empan, lié à l'écartement du pouce à l'auriculaire ; le pied ; puis la coudée, mesurée du coude à l'extrémité de l'index.

Les valeurs données sont approximatives : 8 cm, 12 cm, 20 cm, 32 cm et 52 cm. Sur ces valeurs arrondies, la somme de deux termes consécutifs donne le suivant : 8 + 12 = 20, 12 + 20 = 32 et 20 + 32 = 52. Le nombre d'or, noté par la lettre grecque phi, vaut $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{1,618}\backslash varphi=\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\backslash approx1\{,\}618$. Les quotients successifs ne sont pas identiques, mais se situent autour de cette valeur.

La pige ne fixe donc pas une égalité exacte au nombre d'or. Elle organise des repères de longueur dont les valeurs usuelles en donnent une approximation. Sur le chantier, les ouvriers reproduisaient sur leur propre pige les mesures établies par le maître d'œuvre ; cette copie commune, plutôt que le corps de chacun pris séparément, assurait le partage des dimensions.

On examine une pige portant les cinq valeurs arrondies de référence. Données :
paume : 8 cm ;
palme : 12 cm ;
empan : 20 cm ;
pied : 32 cm ;
coudée : 52 cm.

Étape 1. Additionner les deux premières valeurs donne 8 + 12 = 20 cm, soit la valeur annoncée pour l'empan.
Étape 2. Continuer donne 12 + 20 = 32 cm, puis 20 + 32 = 52 cm. Les valeurs du pied et de la coudée sont retrouvées.
Étape 3. Calculer les quatre rapports successifs donne 12 ÷ 8 = 1,5 ; 20 ÷ 12 ≈ 1,67 ; 32 ÷ 20 = 1,6 ; 52 ÷ 32 = 1,625.
Étape 4. Comparer ces résultats à φ ≈ 1,618 montre une proximité, mais non une égalité générale.

Le contrôle est refaisable sans nouvelle donnée : chaque somme nominale doit retrouver la longueur suivante. Les écarts entre les rapports confirment que le lien avec le nombre d'or est approximatif.

Sur un chantier, le maître d'œuvre arrêtait les mesures à employer. Chaque ouvrier les recopiait sur sa propre pige, puis disposait des mêmes repères pour reporter une longueur.

Pour lire la graduation, on repère l'unité adaptée à la dimension : paume, palme, empan, pied ou coudée. Le choix porte sur la marque reproduite sur la pige, et non sur la main ou l'avant-bras de l'ouvrier.

Pour vérifier l'enchaînement, on additionne deux valeurs voisines. Si le résultat retrouve approximativement la suivante, la graduation présente bien la propriété annoncée ; les rapports servent ensuite à apprécier sa proximité avec le nombre d'or.

La pige et la coudée. La pige est l'instrument complet ; la coudée est l'une de ses cinq unités. Une longueur d'environ 52 cm désigne ici la coudée, pas toute la canne.

La graduation et le nombre d'or. Les rapports de longueurs voisines sont proches de φ, mais ils ne valent pas tous exactement φ. Le calcul 12 ÷ 8 = 1,5 suffit à trancher.

Valeurs arrondies. Les cinq longueurs sont données avec « environ ». Une mesure réelle qui diffère légèrement de 8, 12, 20, 32 ou 52 cm ne se juge donc pas par une égalité au centimètre près ; il faut tenir compte de la précision de la pige.

Unités corporelles, étalon commun. Les noms viennent du corps, mais prendre la main ou l'avant-bras de chaque ouvrier produirait des repères variables. Sur le chantier décrit, chacun reproduisait les mesures décidées par le maître d'œuvre.

Proximité, pas identité. Les rapports calculés vont de 1,5 à environ 1,67, tandis que φ vaut environ 1,618. Il faut parler de rapports proches du nombre d'or et conserver les écarts visibles, plutôt que remplacer tous les quotients par φ.

nombre d'or — Pour définir exactement φ et mesurer l'écart entre cette constante et les rapports successifs de la pige.

coudée — Pour approfondir la plus grande des cinq unités corporelles portées par la pige des bâtisseurs.