Burnside problem

Imaginez une machine commandée par quelques boutons. Leurs actions peuvent être combinées de multiples façons. Chaque combinaison, répétée assez de fois, ramène la machine à son état de départ. Faut-il en conclure que la machine ne possède qu’un nombre fini d’états ?

Le problème de Burnside transpose cette question aux groupes. Un nombre fini de générateurs et des cycles individuels finis ne suffisent pas toujours à rendre le groupe fini. La réponse change toutefois lorsqu’on demande seulement de borner la taille des groupes déjà supposés finis.

Un groupe est de type fini lorsqu’un nombre fini de ses éléments suffit à engendrer tous les autres par les opérations du groupe. Il est de torsion lorsque chacun de ses éléments a un ordre fini, cet ordre pouvant varier d’un élément à l’autre. Le problème de Burnside général, posé par William Burnside en 1902, demande si ces deux conditions imposent la finitude du groupe. La réponse est non : Golod et Shafarevich ont construit un contre-exemple en 1964.

La variante bornée exige davantage. Il existe un même entier positif n tel que, pour tout élément x du groupe, la puissance n-ième de x soit l’élément neutre e : $x^n=ex^n=e$. On dit alors que le groupe est d’exposant fini. Cette condition uniforme implique la torsion, mais la réciproque n’est pas exigée dans le problème général. Novikov et Adian ont montré en 1968 que, pour certains exposants suffisamment grands, notamment certains grands exposants impairs, type fini et exposant fini n’imposent pas la finitude.

Le problème de Burnside restreint, formulé dans les années 1930, ne considère que les groupes déjà finis. Pour un exposant n et un nombre m de générateurs fixés, il demande si leur ordre est majoré par une constante ne dépendant que de n et de m. Cela revient à demander s’il n’existe qu’un nombre fini de tels groupes à isomorphisme près. Les travaux d’Efim Zelmanov ont donné une réponse positive.

Données. La source présente trois cadres : un groupe de torsion de type fini ; un groupe de type fini soumis à un même exposant fini n ; des groupes finis d’exposant n engendrés par m éléments. Il faut associer à chacun la bonne question et sa réponse.

1. Dans le premier cadre, chaque élément a un ordre fini, sans exposant commun imposé. C’est le problème général. Le contre-exemple de Golod et Shafarevich, construit en 1964, donne une réponse négative.

2. Dans le deuxième cadre, le même entier n borne les ordres de tous les éléments. C’est le problème borné. Le résultat de Novikov et Adian en 1968 montre que la réponse est négative pour certains exposants suffisamment grands, notamment certains grands exposants impairs.

3. Dans le troisième cadre, les groupes sont finis dès le départ. On demande une borne uniforme de leur ordre pour n et m fixés. C’est le problème restreint, résolu positivement grâce à Zelmanov.

Le contrôle consiste à repérer le mot qui change le verdict : torsion, exposant commun ou groupes finis. Une hypothèse plus forte ne permet pas de réutiliser automatiquement la preuve ou le contre-exemple d’une autre variante.

Pour lire un énoncé sur un groupe de torsion, on cherche d’abord deux informations : le groupe est-il engendré par un nombre fini d’éléments, et chaque élément a-t-il un ordre fini ? Sans exposant commun annoncé, le cadre pertinent est le problème général.

Lorsqu’un même entier n vérifie xⁿ = e pour tous les éléments, on passe au problème borné. Pour contrôler un contre-exemple annoncé, il faut donc vérifier simultanément le type fini, l’exposant commun et l’infinitude du groupe.

Si l’objet de l’étude est une famille de groupes déjà finis, avec n et m fixés, la question utile n’est plus leur finitude individuelle. Le problème restreint sert alors à savoir si leurs ordres admettent une borne uniforme, ou de façon équivalente si leurs classes d’isomorphisme sont en nombre fini.

Problème de Burnside et formule de Burnside. Le problème étudie la finitude de groupes de torsion engendrés par un nombre fini d’éléments. La formule de Burnside sert au dénombrement des orbites d’une action de groupe. Une question sur le nombre de colorations à symétrie relève de la formule ; une question sur l’existence d’un groupe infini sous des contraintes d’ordre relève du problème.

Type fini ne signifie pas groupe fini. Le premier qualifie le nombre de générateurs, le second le nombre total d’éléments. Confondre les deux ferait disparaître la question de Burnside. Il faut toujours identifier ce qui est supposé fini.

Torsion ne signifie pas exposant borné. Dans un groupe de torsion, chaque élément a un ordre fini, mais aucune même borne n’est imposée à tous. Si un entier n commun vérifie xⁿ = e pour tout x, il faut parler du problème borné.

Deux réponses négatives, deux résultats distincts. Le contre-exemple de 1964 répond au problème général ; celui de 1968 répond négativement au problème borné pour certains exposants suffisamment grands, notamment certains grands exposants impairs. La seconde conclusion exige l’hypothèse supplémentaire d’un exposant commun et ne se déduit pas de la première seule.

La réponse positive restreinte ne renverse pas les contre-exemples. Zelmanov traite une famille de groupes déjà finis et borne leur ordre pour n et m fixés. Cette conclusion ne dit pas que tout groupe de type fini et d’exposant fini est lui-même fini.

Les débuts des groupes replace la question de Burnside dans l’histoire plus large de la théorie des groupes.

La formule de Burnside permet d’approfondir l’autre notion portant ce nom et d’éviter une confusion fréquente.