corollary
Proposition mathématique dont la démonstration découle directement et sans effort supplémentaire significatif d'un théorème principal préalablement établi. Un corollaire hérite de la vérité du théorème dont il est issu et en constitue une conséquence immédiate ou une application particulière. Il se distingue du lemme, qui précède le théorème principal et en prépare la démonstration, et de la proposition, qui désigne un résultat d'importance intermédiaire.
Contents
What you will learn
- Relier un corollaire au théorème dont il dépend.
- Vérifier les hypothèses avant d’appliquer une conséquence.
- Distinguer un corollaire d’un lemme et d’une proposition.
- Suivre un exemple issu du théorème de Pythagore.
In plain terms
Imaginez qu’un théorème soit déjà démontré. En changeant simplement un paramètre ou en regardant un cas particulier, une nouvelle conclusion apparaît presque aussitôt. Cette conclusion est un corollaire.
Par exemple, le théorème de Pythagore donne la longueur du troisième côté d’un triangle rectangle. Si les deux côtés de l’angle droit ont la même longueur, leur égalité conduit immédiatement à une formule plus précise : ce résultat particulier est un corollaire du théorème.
Definition
Un corollaire est une proposition que l’on déduit directement d’un théorème déjà démontré. Sa justification consiste à appliquer ce théorème à un cas particulier ou à en tirer une conséquence immédiate. Il ne demande donc pas une nouvelle démonstration substantielle, mais la déduction doit rester explicitement justifiée.
Le corollaire dépend des hypothèses du théorème d’origine : si elles ne sont pas satisfaites, sa conclusion n’est pas garantie. Il peut ajouter une hypothèse qui spécialise le cadre, puis exprimer ce que le théorème donne dans ce cadre plus étroit. Sa vérité est ainsi héritée du résultat principal, et non admise indépendamment.
Le mot décrit surtout la place logique et éditoriale d’un résultat. Un même énoncé peut être présenté comme corollaire lorsqu’il suit immédiatement un théorème, ou comme proposition autonome si sa démonstration et son intérêt sont développés séparément.
The principle
Si un théorème affirme que les hypothèses H entraînent la conclusion C, et si un cas particulier vérifie H, alors C vaut dans ce cas. Toute conséquence C′ obtenue immédiatement à partir de C peut être énoncée comme corollaire.
La chaîne logique est donc : hypothèses vérifiées, application du théorème, puis déduction directe. Si un argument nouveau et substantiel est nécessaire entre C et C′, le résultat ne constitue plus une conséquence immédiate au sens usuel.
When to use it
Un corollaire s’appuie sur un théorème précis et sur toutes ses hypothèses. Il faut pouvoir repérer le résultat d’origine, vérifier que le cas étudié appartient bien à son domaine, puis obtenir la nouvelle conclusion par une spécialisation ou une déduction courte. Une hypothèse ajoutée peut restreindre le cas, mais elle ne remplace aucune hypothèse initiale.
Contre-cas concret : le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Pour un triangle sans angle droit, la relation utilisée dans l’exemple n’est pas disponible ; on ne peut donc pas en annoncer le cas isocèle comme corollaire de ce théorème. Il faut employer un résultat adapté au triangle considéré.
A step-by-step example
Considérons un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent chacun 3 cm. La lettre c désigne la longueur de l’hypoténuse. Le théorème de Pythagore s’applique parce que le triangle est rectangle.
1. Les données sont deux côtés perpendiculaires de 3 cm et de 3 cm.
2. Le théorème donne .
3. En additionnant, on obtient .
4. Comme une longueur est positive, cm, soit environ 4,24 cm.
2. Le théorème donne .
3. En additionnant, on obtient .
4. Comme une longueur est positive, cm, soit environ 4,24 cm.
Le dessin fixe les mêmes données et rend visible la spécialisation du théorème au cas où les deux côtés de l’angle droit sont égaux.
On en tire le corollaire général suivant : dans tout triangle rectangle isocèle dont chaque côté de l’angle droit mesure une longueur positive a, l’hypoténuse mesure . Le calcul avec a = 3 cm en est une vérification numérique.
In practice
Dans un cours ou un livre, la mention « corollaire » signale qu’il faut chercher le théorème qui précède. Le bon geste consiste à reprendre ses hypothèses et à identifier laquelle a été spécialisée.
Pour rédiger une solution, on peut invoquer un corollaire connu lorsque ses conditions correspondent exactement au problème. Si cette correspondance n’est pas immédiate, il vaut mieux citer le théorème d’origine et montrer les étapes de la déduction.
Pour organiser un exposé, le terme met en valeur une conséquence utile sans interrompre la démonstration principale. Une proposition autonome convient mieux lorsque le résultat exige un argument propre ou mérite une preuve séparée.
Not to be confused with
Avec un lemme. Un lemme est établi pour préparer la démonstration d’un résultat principal ; un corollaire est déduit après ce résultat. Si un énoncé fournit l’étape technique qui permet de prouver le théorème, il joue le rôle de lemme.
Avec une proposition. Une proposition est un résultat autonome d’importance intermédiaire, accompagné de sa propre démonstration. Si le résultat découle immédiatement du théorème qui vient d’être établi, le nom de corollaire rend mieux compte de sa dépendance logique.
Limits and pitfalls
Une conséquence n’est pas automatique sans vérification. Le symptôme est l’application du corollaire à un objet qui ne satisfait pas les hypothèses du théorème. Il faut d’abord contrôler chaque hypothèse, notamment le caractère rectangle du triangle dans l’exemple.
« Immédiat » ne signifie pas « sans justification ». Si le passage du théorème à la conclusion reste invisible, une ligne de substitution ou de déduction doit être donnée. Si plusieurs idées nouvelles sont nécessaires, il vaut mieux présenter une preuve autonome.
Le statut dépend de la présentation. Le mot « corollaire » ne mesure pas une importance absolue. Un résultat majeur dans une autre étude peut apparaître ici comme conséquence immédiate ; il faut examiner la dépendance logique annoncée, pas seulement l’étiquette.
Further reading
Pour approfondir la notion, on peut reconstruire la dépendance logique d’un texte mathématique : quelles hypothèses alimentent le théorème, quelle conclusion est obtenue, puis quelle spécialisation produit chaque corollaire. Cet exercice montre qu’un corollaire n’est pas une affirmation isolée, mais un nœud dans une chaîne de déductions.
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