Cramer–Castillon problem

Imaginez un cercle, trois points placés dans son plan et trois droites qui doivent passer par ces points. Le problème de Cramer-Castillon demande de choisir ces droites pour qu'elles délimitent un triangle dont les trois sommets reposent sur le cercle. Les points imposent donc les côtés, tandis que le cercle impose la position des sommets. La règle sert à tracer les droites et le compas à réaliser les constructions nécessaires.

Le problème de Cramer-Castillon est un problème de construction géométrique. Les données sont un cercle et trois points A, B et C du plan. Il faut construire un triangle inscrit dans ce cercle, c'est-à-dire un triangle dont chacun des trois sommets appartient au cercle, de sorte que ses côtés passent respectivement par A, B et C. L'ordre des correspondances fait partie de l'énoncé : un côté est associé à A, un autre à B et le dernier à C.

La difficulté vient du couplage des contraintes. Une droite passant par un point donné peut couper le cercle en deux points, mais les trois choix doivent se rejoindre deux à deux pour former le même triangle. La construction recherchée doit être réalisable à la règle et au compas. Le cas où A, B et C sont alignés avait été traité par Pappus d'Alexandrie ; Cramer a proposé en 1742 le cas de trois points quelconques, dont la solution complète a été apportée en 1776 par Giovanni Francesco Salvemini, dit Castillon.

Considérons un cercle de centre O et de rayon 5, dans un repère où O est l'origine. Les trois points donnés sont A(1, 4), B(−1, 4) et C(0, 0). On cherche un triangle inscrit dont un côté passe par A, un autre par B et le troisième par C.

Les trois sommets de la solution sont U(5, 0), V(−5, 0) et W(0, 5).

Le côté UW est porté par la droite y = −x + 5, et A(1, 4) la vérifie.
Le côté VW est porté par la droite y = x + 5, et B(−1, 4) la vérifie.
Le côté UV est porté par la droite y = 0, et C(0, 0) la vérifie.

Enfin, U, V et W appartiennent au cercle car leurs distances à O valent toutes 5. Le contrôle confirme donc à la fois l'inscription du triangle et le passage de chaque côté par le point qui lui est associé.

En géométrie classique, on utilise ce problème pour s'exercer à coordonner des droites, des intersections et un cercle dans une construction à la règle et au compas. Le geste consiste à respecter simultanément les trois points imposés et les trois sommets sur le cercle.

Pour vérifier une construction, on peut remplacer le tracé seul par un contrôle analytique : chaque sommet doit appartenir au cercle, et chaque côté doit contenir le point qui lui est attribué. Le calcul est une alternative de vérification lorsque le dessin devient difficile à lire.

Le problème de Cramer-Castillon ne demande pas seulement de tracer trois droites passant par A, B et C. Le critère qui tranche est que ces droites doivent former un triangle dont les trois sommets appartiennent au cercle. Trois droites quelconques peuvent satisfaire le premier test sans satisfaire le second.

Il ne faut pas non plus le confondre avec le théorème de Pappus. Le problème porte sur une construction de triangle inscrit imposée par trois points ; le théorème de Pappus est un résultat de géométrie projective d'une autre nature.

Le cas particulier où A, B et C sont alignés ne représente pas tout le problème : il s'agit du cas traité par Pappus, tandis que la formulation de Cramer autorise trois points quelconques. Le symptôme d'une confusion est de présenter l'alignement comme une condition générale ; il faut alors revenir à l'énoncé avec trois points du plan, sans imposer cette hypothèse.

La présence de trois points ne garantit pas, à elle seule, qu'un dessin choisi au hasard fournisse le triangle recherché. Trois droites peuvent bien passer par A, B et C alors que l'une de leurs intersections tombe à l'intérieur du cercle : le tracé obtenu n'est alors pas un triangle inscrit. On ne peut donc pas conclure à partir de l'apparence du dessin ; il faut vérifier séparément l'appartenance des trois sommets au cercle et le passage des trois côtés par A, B et C.

Le mot « respectivement » est une contrainte réelle : permuter les associations entre les points et les côtés peut conduire à une autre construction. Il faut annoncer l'association retenue avant de contrôler le résultat.

Le problème ouvre sur des généralisations de même esprit : remplacer les trois points par n points dans le plan, ou transposer la question dans l'espace à trois dimensions. Ces prolongements changent le nombre de contraintes et la géométrie des objets à construire ; ils permettent d'étudier jusqu'où une construction analogue peut être étendue.