Erdős–Mordell theorem

Imaginez un triangle, un point M placé à l'intérieur, et trois perpendiculaires descendant de M vers ses côtés. Les trois distances MA, MB et MC relient M aux sommets ; MH, MK et ML mesurent ses écarts aux côtés.

L'inégalité d'Erdős-Mordell dit que, pour ce point intérieur, la somme des trois distances aux sommets est au moins le double de la somme des trois distances aux côtés. Le triangle équilatéral avec M en son centre est le cas parfaitement équilibré mis en avant par le théorème.

Soit ABC un triangle non dégénéré et M un point strictement intérieur au triangle. Les lettres MA, MB et MC désignent les longueurs des segments joignant M aux sommets A, B et C. H, K et L sont les projections orthogonales de M sur les côtés BC, CA et AB ; MH, MK et ML sont donc les distances de M à ces côtés.

L'inégalité d'Erdős-Mordell affirme que la somme des distances de M aux trois sommets est supérieure ou égale au double de la somme de ses distances aux trois côtés :

La condition d'égalité est précise : pour un point M strictement intérieur, elle a lieu exactement lorsque ABC est équilatéral et que M est son centre. La configuration étudiée utilise donc les côtés comme segments ; les points extérieurs ne relèvent pas de cet énoncé.

Pour tout triangle ABC non dégénéré et tout point M strictement intérieur au triangle, construisez les perpendiculaires de M aux côtés BC, CA et AB, avec pieds H, K et L. Alors la somme des trois longueurs vers les sommets domine le double de la somme des trois distances aux côtés.

La condition d'égalité s'écrit ainsi :

Le résultat demande un triangle ABC non dégénéré, donc trois sommets non alignés, et un point M strictement intérieur au triangle. Les longueurs MA, MB et MC sont des distances aux sommets. Les longueurs MH, MK et ML sont les distances perpendiculaires de M aux côtés, leurs pieds H, K et L appartenant alors aux segments correspondants.

Un quadrilatère ou trois points alignés ne fournissent pas le triangle requis : les rôles de H, K et L ne correspondent plus à cette configuration. Il faut alors employer une autre inégalité adaptée à la figure étudiée.

Prenons un triangle équilatéral ABC de côté 2 et son centre M. Dans cette configuration, chaque sommet est à la même distance de M et chaque côté est à la même distance de M.

Données : côté AB = BC = CA = 2 ; MA = MB = MC = 2/√3 ; MH = MK = ML = 1/√3.

La somme vers les sommets vaut : $MA+MB+MC=3\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}MA+MB+MC=3\backslash cdot\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{3\}\}=2\backslash sqrt\{3\}$.
La somme vers les côtés vaut : $MH+MK+ML=3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}MH+MK+ML=3\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}=\backslash sqrt\{3\}$.
Son double vaut donc $2(MH+MK+ML)=2\sqrt{3}2(MH+MK+ML)=2\backslash sqrt\{3\}$.

Les deux membres sont exactement égaux : le calcul vérifie ici le cas d'égalité, pour le centre du triangle équilatéral. Le rapport entre la distance au sommet et la distance au côté vaut alors 2 dans chacune des trois directions ; ce rapport n'est pas constant pour une position quelconque de M.

Dans une figure, le résultat sert d'abord de contrôle : mesurez les trois distances de M aux sommets, puis les trois distances perpendiculaires aux côtés, et comparez les deux sommes.

Pour une démonstration, la règle fournit une borne à vérifier après les constructions auxiliaires, lorsque le point M est intérieur au triangle. Pour un point extérieur, les distances aux droites supports sont bien définies, mais l'inégalité ne peut pas être invoquée sans hypothèse ou résultat supplémentaire.

L'inégalité d'Erdős-Mordell et le théorème d'Erdős-Mordell sont liés, mais ils ne jouent pas le même rôle. L'inégalité est la borne valable pour un triangle et un point intérieur ; le théorème précise que l'égalité exige un triangle équilatéral et son centre comme point M.

Il ne faut pas non plus confondre MH avec la distance de M au pied H considéré comme un point quelconque : H est imposé par la perpendicularité à BC, et la même convention définit K sur CA et L sur AB.

Un premier piège consiste à lire « égalité » comme une propriété automatique d'un triangle équilatéral pour n'importe quel point M. Pour un point M strictement intérieur, l'égalité exige que le triangle soit équilatéral et que M soit son centre ; un calcul particulier ne suffit donc pas à établir une caractérisation plus large.

Un second piège apparaît lorsque M est extérieur au triangle. Même si les distances aux droites supports restent définies, l'inégalité présentée ici ne s'applique pas sans hypothèse ou résultat supplémentaire : le domaine est celui des points intérieurs.

Enfin, un triangle dégénéré, dont l'aire est nulle, sort des hypothèses usuelles : les trois côtés ne délimitent plus une figure triangulaire et le résultat ne doit pas être appliqué sans reformulation.

Pour prolonger cette lecture, l'article « Le miracle de Morley » replace une autre propriété remarquable des triangles dans une construction géométrique. Il aide à voir comment des relations d'angles et de distances peuvent révéler une structure régulière, en complément de la comparaison de distances étudiée ici.

La fiche peut aussi être rapprochée de l'inégalité de Cauchy-Schwarz lorsque l'on cherche les outils généraux qui transforment des relations géométriques en bornes quantitatives. Ce prolongement concerne une méthode de preuve, pas une nouvelle définition du résultat d'Erdős-Mordell.