Évariste Galois

En 1832, Évariste Galois passe la nuit précédant le duel qui lui sera fatal à résumer ses découvertes dans une lettre. Il n’a que vingt ans. Son idée forte consiste à ne plus chercher seulement à enchaîner de longs calculs pour résoudre une équation : il faut d’abord mettre au jour sa structure.

Cette façon de changer de point de vue donne des outils pour décider si une équation polynomiale peut être résolue par radicaux. Elle ouvre la voie à la théorie des groupes, à la théorie des corps et à l’algèbre abstraite moderne.

Évariste Galois est un mathématicien français né en 1811 et mort en 1832. Son œuvre concerne la résolution des équations algébriques par radicaux. Dans le cadre classique retenu ici, celui d’un polynôme à coefficients rationnels, cela signifie que ses racines appartiennent à une extension du corps des nombres rationnels obtenue par adjonctions successives de racines n-ièmes. Son apport ne se réduit pas à une nouvelle suite de calculs : il cherche les structures qui gouvernent les équations.

Pour rendre cette démarche possible, Galois développe des idées décisives sur les groupes de permutations des racines et les extensions de corps. Elles permettent de transformer une demande de formule en une question de structure, puis de décider, dans le cadre algébrique fixé, si l’équation polynomiale considérée est résoluble par radicaux. Ces contributions joueront un rôle fondateur dans l’essor de la théorie des groupes, de la théorie des corps et de l’algèbre abstraite moderne.

Ses travaux sont d’abord mal reçus : deux mémoires soumis à l’Académie des sciences en 1830 sont perdus ou rejetés. Ses manuscrits paraissent en 1846, puis Camille Jordan en donne un exposé systématique à partir de 1870. Cette histoire de publication tardive explique l’écart entre la brièveté de la vie de Galois et la portée durable de son œuvre.

On rencontre Évariste Galois dans l’histoire des mathématiques françaises du XIX^e siècle et dans les cours consacrés aux équations, aux groupes, aux corps ou à l’algèbre abstraite. Plusieurs repères permettent de le situer : ses deux échecs à l’entrée de l’École polytechnique, les deux mémoires soumis en 1830, son emprisonnement politique en 1831, sa mort en duel en 1832 et la publication de ses manuscrits en 1846. La chronologie met en regard ces épisodes et l’exposé systématique donné par Camille Jordan à partir de 1870.

Sa trace actuelle est d’abord conceptuelle : son nom reste attaché à une manière structurelle d’étudier la résolution des équations par radicaux.

Pour lire un texte sur Galois, il faut d’abord repérer ce que le nom désigne dans le passage. 1. S’il est question de 1811 à 1832, des mémoires de 1830, de prison ou du duel, le texte traite de sa vie. 2. S’il est question d’équations résolubles par radicaux, il traite du problème mathématique auquel il s’est attaqué. 3. Dans l’approche de Galois, les groupes de permutations des racines et les extensions de corps mettent la structure au premier plan pour étudier la résolubilité, sans rendre les calculs inutiles. 4. Les dates 1846 et 1870 concernent la publication puis l’exposé systématique de l’œuvre, et non sa découverte.

La mort spectaculaire de Galois peut attirer toute l’attention. Le bon réflexe consiste à distinguer la chronologie biographique de l’apport mathématique : ce dernier porte sur un critère structurel de résolubilité, pas sur le duel.

Prenons l’équation x² − 2 = 0, dont les coefficients sont rationnels. Ses deux racines sont √2 et −√2 : chacune s’obtient à partir de nombres rationnels et d’une racine carrée. Ce cas simple permet de suivre concrètement la question de Galois : l’équation est-elle résoluble par radicaux ?

1. Fixer les racines et le corps de départ. Le corps des nombres rationnels, noté Q, est ici l’ensemble de nombres dans lequel vivent les coefficients 1 et −2. Les nombres √2 et −√2 ne sont pas rationnels, mais leur carré vaut 2 : ce sont bien les deux racines à examiner.

2. Construire l’extension et observer les permutations. En adjoignant √2 à Q, on obtient le corps Q(√2), formé des nombres a + b√2 avec a et b rationnels ; il contient les deux racines. Les transformations qui conservent les relations rationnelles entre elles sont l’identité et l’échange de √2 avec −√2. Ces deux permutations, stables quand on les compose, forment le groupe de Galois de ce cas.

3. Lire le verdict. Ce groupe à deux éléments est résoluble. Le critère de Galois conduit donc au verdict suivant : x² − 2 = 0 est résoluble par radicaux. Les expressions √2 et −√2, déjà obtenues par une extraction de racine carrée, confirment ce verdict.

Pour contrôler l’exemple, on peut refaire quatre vérifications : les deux nombres proposés ont pour carré 2 ; ils appartiennent à Q(√2) ; les deux permutations possibles sont l’identité et leur échange ; enfin, le verdict structurel concorde avec l’écriture explicite des racines par un radical.

Dans un récit historique, on ordonne les épisodes sans confondre travail, soumission et publication. On retient 1830 pour les deux mémoires, 1832 pour la dernière lettre et la mort, 1846 pour la publication, puis 1870 pour l’exposé de Camille Jordan.

Dans un texte d’algèbre, on cherche quel rôle jouent les groupes et les corps. Dans le cadre fixé ici d’un polynôme à coefficients rationnels, si la question porte sur la possibilité d’obtenir ses racines dans une extension du corps des nombres rationnels par adjonctions successives de racines n-ièmes, l’approche structurelle de Galois fournit le cadre adapté ; une recherche de formule ne répond pas à elle seule au même niveau de question.

Pour présenter son apport, on relie toujours le nom de Galois au problème traité. Dire seulement qu’il a fondé l’algèbre abstraite masque le geste décisif : ajouter à l’étude calculatoire des équations un niveau d’analyse privilégiant les structures qui gouvernent leur résolubilité.

Évariste Galois et la théorie des groupes. Le premier est la personne, née en 1811 et morte en 1832 ; la seconde est une théorie à laquelle ses travaux sur les groupes de permutations ont apporté une contribution décisive. Une date biographique renvoie à l’homme, tandis qu’un critère de résolubilité renvoie à l’œuvre.

Théorie des groupes et théorie des corps. Les travaux de Galois font intervenir des groupes de permutations des racines et des extensions de corps pour étudier les équations par leurs structures. Ces deux cadres conceptuels sont distincts : dans un texte, la présence de l’un de ces termes ne permet pas de remplacer automatiquement l’autre.

Résoudre une équation et décider si elle est résoluble par radicaux. Le premier objectif demande des solutions ; le second demande, dans le cadre fixé ici d’un polynôme à coefficients rationnels, si ses racines appartiennent à une extension du corps des nombres rationnels obtenue par adjonctions successives de racines n-ièmes. C’est ce second problème que l’œuvre de Galois structure.

La nuit de 1832 ne résume pas toute la création. Galois y rédige une lettre qui rassemble à la hâte l’essentiel de ses découvertes. Les mémoires soumis dès 1830 montrent que le travail est antérieur ; il faut donc parler d’un résumé urgent, pas d’une théorie inventée en une nuit.

Un rejet n’est pas un verdict mathématique définitif. Deux mémoires de 1830 sont perdus ou rejetés, alors que les manuscrits publiés en 1846 auront une portée majeure. Le symptôme trompeur est de confondre leur réception initiale avec leur valeur ultérieure.

Les dates de diffusion ont des fonctions différentes. 1846 marque la publication des manuscrits ; 1870 marque le début de leur compréhension plus large grâce à l’exposé systématique de Camille Jordan. Il faut nommer l’événement associé à chaque date.

Les débuts des groupes replace la naissance de cette notion dans l’histoire qui prolonge le changement de point de vue de Galois.

De l’algèbre « concrète » à l’algèbre « abstraite » approfondit le passage des calculs sur des expressions à l’étude des structures.

Établir des équations polynomiales revient sur l’objet algébrique auquel s’applique la question de la résolution par radicaux.