François Budan
Ferdinand François Désiré Budan de Boislaurent (1761-1840), mathématicien français né à Saint-Domingue (aujoud'hui Haïti). Médecin de formation, il publie en 1807 un mémoire sur la résolution numérique des équations algébriques. Il y énonce une règle permettant de borner le nombre de racines réelles d'un polynôme dans un intervalle donné, connue sous le nom de règle de Budan-Fourier.
Contents
What you will learn
- Situer François Budan à partir des faits biographiques fournis.
- Calculer les variations de signe de la suite des dérivées aux bornes d’un intervalle.
- Interpréter la borne, sa parité et les cas où elle n’est pas exacte.
In plain terms
En 1807, François Budan publie en France un mémoire consacré à la résolution numérique des équations algébriques. Son idée répond à une question concrète : combien de fois la courbe d’un polynôme peut-elle couper l’axe horizontal entre deux nombres ?
Au lieu de chercher immédiatement chaque point d’intersection, sa règle compare des changements de signe aux deux extrémités de l’intervalle. La différence obtenue donne un plafond pour le nombre de racines réelles présentes.
Definition
Ferdinand François Désiré Budan de Boislaurent (1761-1840) est un mathématicien français né à Saint-Domingue, aujourd’hui Haïti, et médecin de formation. En 1807, il publie un mémoire sur la résolution numérique des équations algébriques. Ce texte contient la règle désormais appelée règle de Budan-Fourier.
La règle s’applique à un polynôme réel non nul et à deux nombres réels qui ne sont pas des racines du polynôme, le nombre a étant strictement inférieur au nombre b. À chaque extrémité, on évalue le polynôme puis ses dérivées successives jusqu’à la dérivée constante. On note V(a) et V(b) les nombres de changements de signe dans ces deux suites de valeurs, après suppression des valeurs nulles.
Le nombre de racines réelles du polynôme dans l’intervalle allant de a exclu à b inclus, comptées avec leur multiplicité, ne dépasse pas V(a) − V(b). L’écart entre cette différence et le nombre effectif de racines est un entier pair. La règle fournit donc une borne et une information de parité ; elle ne livre pas toujours le nombre exact ni la valeur des racines.
A step-by-step example
On cherche à borner le nombre de racines du polynôme dans l’intervalle allant de 0 exclu à 3 inclus.
Les données nécessaires sont les deux extrémités 0 et 3, puis la suite formée par le polynôme et ses trois dérivées :
1. En 0, les valeurs sont 2, −1, −4 et 6. La suite de signes est donc +, −, −, + : elle comporte deux changements, d’où V(0) = 2.
2. En 3, les valeurs sont 8, 14, 14 et 6. Tous les signes sont positifs, donc V(3) = 0. La règle donne au plus 2 − 0 = 2 racines, avec un écart pair.
3. Le contrôle s’effectue en factorisant : . Les racines 1 et 2 appartiennent à l’intervalle considéré, tandis que −1 n’y appartient pas. La borne de deux est ici atteinte exactement.
In practice
Pour isoler les racines d’un polynôme, on découpe l’axe réel en intervalles dont les extrémités ne sont pas des racines, et l’on calcule la différence des variations à chaque paire d’extrémités. Une différence nulle certifie alors qu’aucune racine ne se trouve dans l’intervalle concerné.
Quand une borne suffit, la règle évite de résoudre entièrement l’équation. Si le nombre exact de racines est indispensable et que la borne reste supérieure au nombre réel, une suite de Sturm constitue une alternative plus précise.
Un tracé graphique aide à repérer des zones candidates, mais il peut masquer des racines proches ou multiples. Le calcul des signes apporte alors un contrôle algébrique, à condition d’évaluer exactement le polynôme et toutes ses dérivées requises.
Not to be confused with
La règle des signes de Descartes étudie les variations de signe des coefficients d’un polynôme pour borner ses racines positives. La règle de Budan-Fourier évalue au contraire le polynôme et ses dérivées aux deux extrémités d’un intervalle. Pour l’intervalle (0, 3], ce sont donc les valeurs en 0 et en 3 qui tranchent.
Le théorème de Sturm peut donner le nombre exact de racines réelles distinctes dans un intervalle grâce à une autre suite de polynômes. Budan-Fourier donne en général une borne assortie d’une parité. Dans l’exemple conducteur, la factorisation confirme que cette borne est exacte, mais ce n’est pas garanti dans tous les cas.
Limits and pitfalls
Une différence V(a) − V(b) égale à 2 n’affirme pas toujours qu’il existe deux racines. Le nombre réel peut aussi être 0, puisque l’écart doit seulement être pair. Il faut subdiviser l’intervalle ou employer une méthode de comptage exact.
Lorsqu’une valeur de la suite des dérivées est nulle à une extrémité, son signe ne doit pas être compté. On supprime les zéros avant de compter les changements ; leur attribuer arbitrairement un signe fausse la borne.
Les racines sont comptées avec leur multiplicité. Une racine double compte donc pour deux, même si le graphe touche l’axe sans le traverser. Un simple comptage visuel des croisements peut manquer ce cas.
Des évaluations numériques arrondies près de zéro peuvent inverser un signe. Il faut privilégier des calculs exacts ou encadrer rigoureusement chaque valeur avant d’appliquer la règle.
Further reading
La fiche Fourier Joseph situe l’autre nom attaché à la règle de Budan-Fourier et ouvre sur son parcours mathématique.
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