Henry Watson

En 1873, Henry William Watson étudie avec Francis Galton une question concrète : une lignée peut-elle disparaître au fil des générations ? Leur modèle imagine que chaque individu donne naissance à un nombre aléatoire de descendants. En répétant cette règle d'une génération à la suivante, on voit la population s'éteindre, se maintenir ou croître.

L'apport de Watson relie ainsi une histoire de filiation à un calcul de probabilités. Le hasard agit à chaque naissance, mais la loi commune de reproduction permet d'évaluer le risque d'extinction de toute la lignée.

Henry William Watson (1827-1903) est un mathématicien et physicien anglais, auteur d'ouvrages sur l'électricité et le magnétisme. Son nom reste attaché au processus stochastique qu'il établit conjointement avec Francis Galton en 1873 pour étudier la dynamique des populations et l'extinction des lignées. Dans le modèle standard de Galton-Watson, chaque individu produit indépendamment un nombre de descendants régi par la même loi de probabilité. Si p_k est la probabilité d'avoir k descendants, la fonction génératrice f rassemble cette loi.

En partant d'un individu, la probabilité finale d'extinction est le plus petit nombre q compris entre 0 et 1 qui vérifie $f(q)=qf(q)=q$. Dans l'exemple conducteur, chaque individu a soit 0 descendant, soit 2 descendants, avec une probabilité de 1/2 dans chaque cas. La courbe de f et la droite d'équation y = s rendent visible leur unique rencontre sur l'intervalle considéré : q = 1. La lignée finit donc par s'éteindre avec probabilité 1, même si sa durée reste aléatoire.

Une lignée commence avec un seul individu. Chaque individu a 0 descendant avec probabilité 1/2, ou 2 descendants avec probabilité 1/2. Les reproductions sont indépendantes et suivent toutes cette même règle. On cherche la probabilité que la lignée soit déjà éteinte après plusieurs générations.

1. Après une génération, l'extinction s'est produite si le premier individu n'a aucun descendant : q₁ = 1/2.

2. La fonction génératrice traduit la règle de reproduction :

La probabilité d'extinction avant ou à la génération suivante s'obtient en réappliquant cette fonction.

3. Après deux générations :

4. Après trois générations :

Le contrôle est direct : 89/128 est supérieur à 5/8, car une génération supplémentaire ajoute des possibilités d'extinction. En poursuivant l'itération, les probabilités augmentent vers 1, la solution de f(q) = q sur l'intervalle de 0 à 1.

Pour une population décrite génération par génération, le modèle transforme une règle aléatoire de reproduction en risque d'extinction de la lignée. Le calcul porte sur la loi du nombre de descendants, pas sur un arbre généalogique particulier.

On peut aussi comparer deux règles de reproduction en calculant leur fonction génératrice et son plus petit point fixe. Si les individus n'obéissent pas à la même loi ou si leurs reproductions dépendent les unes des autres, un modèle de branchement plus général est préférable.

Dans l'exemple où chacun a 0 ou 2 descendants avec la même probabilité, le calcul conclut à une extinction finale certaine. Cette conclusion probabiliste ne fournit toutefois ni la génération exacte de l'extinction ni le parcours d'une réalisation donnée.

Henry William Watson et le processus de Galton-Watson. Le premier est le mathématicien et physicien anglais né en 1827 et mort en 1903 ; le second est le modèle stochastique établi avec Francis Galton en 1873. Une date biographique décrit la personne, tandis qu'une loi de reproduction et une probabilité d'extinction décrivent le processus.

Probabilité d'extinction et extinction observée. Une probabilité mesure l'ensemble des évolutions possibles sous une loi donnée. Une extinction observée ne concerne qu'une réalisation. Dans l'exemple conducteur, une lignée peut survivre plusieurs générations bien que sa probabilité d'extinction finale soit égale à 1.

Processus et arbre réalisé. Le processus fixe la règle aléatoire commune à toutes les générations. Un arbre particulier en est un résultat possible. Deux arbres différents peuvent donc provenir exactement du même processus de Galton-Watson.

Dépendance ou lois différentes. Le modèle standard suppose des reproductions indépendantes et une même loi pour tous les individus. Si le milieu ou la génération modifie cette loi, le symptôme est l'impossibilité d'utiliser une seule fonction f ; il faut alors choisir un modèle de branchement adapté.

Moyenne égale à 1. Une moyenne critique n'implique pas toujours une extinction au sens ordinaire. Si chaque individu a exactement un descendant, la population reste toujours égale à 1. Il faut donc examiner la loi entière, et non sa seule moyenne.

Extinction certaine, délai non fixé. Dans l'exemple 0 ou 2 descendants, q = 1 décrit la probabilité finale. Les valeurs q₁ = 0,5, q₂ = 0,625 et q₃ = 0,6953125 montrent que l'extinction n'est pas nécessairement immédiate. Il faut distinguer l'événement final de son temps de réalisation.

Espérance et trajectoire. Le nombre moyen de descendants renseigne sur le régime du modèle, mais ne prédit pas le destin d'une lignée particulière. Pour une réalisation observée, il faut décrire l'arbre obtenu plutôt que présenter la moyenne comme un résultat certain.

Le processus de Galton-Watson détaille le modèle probabiliste associé au nom de Watson et le calcul de l'extinction d'une lignée.

La fiche Branchement (processus de) replace ce modèle dans la famille plus large des populations qui évoluent par générations.

La notice Galton Francis présente l'autre auteur auquel le processus établi en 1873 doit son nom.