Hypsicles of Alexandria

Imaginez un cercle que l'on veut décrire avec une règle commune. On peut le partager en 360 degrés, puis exprimer certaines subdivisions avec le système sexagésimal, fondé sur des groupements de 60. Ces usages sont antérieurs à Hypsiclès ; son traité d'astronomie est associé à leur emploi, mais rien ne permet d'en faire avec certitude l'inventeur de la convention.

Son travail ne concerne pas seulement le ciel. Le livre XIV des Éléments d'Euclide étudie le dodécaèdre et l'icosaèdre réguliers inscrits dans une même sphère. Cette attribution est historique, car ce livre est considéré comme ajouté après la version originale.

Hypsiclès d'Alexandrie est un mathématicien et astronome grec du IIe siècle avant J.-C., dont l'activité est située approximativement entre 190 et 120 avant notre ère. La tradition lui attribue De ascensionibus, un traité consacré à l'ascension des signes zodiacaux, c'est-à-dire à la part de rotation céleste nécessaire à leur lever sur l'horizon oriental, selon la latitude du lieu.

Ce traité emploie la numération sexagésimale ; la division du cercle en 360 degrés y est également utilisée, sans qu'on puisse en attribuer l'origine à Hypsiclès. Il utilise aussi des propriétés de progressions arithmétiques. La source indique qu'Hypsiclès semble ignorer les méthodes développées par Hipparque pour calculer l'ascension droite.

L'attribution la plus célèbre concerne le livre XIV des Éléments d'Euclide. Ce livre est dit apocryphe parce qu'il a été ajouté après la version originale. Il compare le dodécaèdre et l'icosaèdre, deux polyèdres réguliers inscrits dans une même sphère. Un autre traité attribué à Hypsiclès, consacré aux nombres polygonaux, est perdu ; son existence est attestée par les citations de Diophante.

Pour illustrer la graduation en degrés employée dans le traité attribué à Hypsiclès, considérons un cercle complet. Les données sont les suivantes : un tour complet vaut 360 degrés ; une demi-circonférence correspond à 180 degrés ; un quart de tour correspond à 90 degrés.

On part du cercle complet : 360 degrés.
On partage ce total en deux parts égales : 360 ÷ 2 = 180 degrés.
On partage ensuite une de ces moitiés en deux : 180 ÷ 2 = 90 degrés.
Le quart de tour représente donc 90 degrés.

Le contrôle est immédiat : quatre quarts donnent 4 × 90 = 360 degrés. Les trois résultats sont des valeurs exactes dans cette convention ; ils ne sont pas des mesures arrondies.

Pour relier ce repère à l'astronomie, imaginons un signe zodiacal qui se lève sur l'horizon oriental. Sa position se décrit par une rotation mesurée en degrés ; selon la latitude du lieu, la part de rotation nécessaire à ce lever change. C'est l'idée d'ascension des signes étudiée dans le traité attribué à Hypsiclès : on relie donc une rotation, un horizon et une latitude, sans reconstituer ici un calcul historique complet.

Pour étudier un problème de géométrie sur les polyèdres réguliers, on observe les faces, les arêtes et les sommets du dodécaèdre ou de l'icosaèdre, puis on les compare lorsqu'ils sont inscrits dans une même sphère.

Pour voir ce qu'est une progression arithmétique, prenons 2, 5, 8 et 11 : l'écart est toujours de 3, donc le terme suivant est 14. Ce petit calcul illustre la notion mentionnée dans le traité d'astronomie attribué à Hypsiclès, sans prétendre reproduire un de ses calculs.

Hypsiclès et Hipparque. Le critère est l'œuvre ou la méthode considérée. Le traité attribué à Hypsiclès emploie la numération sexagésimale et les progressions arithmétiques, tandis que la source distingue les méthodes d'Hipparque pour le calcul de l'ascension droite.

Le livre XIV et les Éléments originaux. Le critère est le statut historique du livre. Le livre XIV est considéré comme apocryphe parce qu'il a été ajouté postérieurement à la version originale des Éléments.

Une attribution historique n'est pas une certitude absolue. Les formulations « on lui attribue » et « semble ignorer » signalent le degré de prudence conservé par la source. Il faut donc éviter de transformer ces attributions en faits établis sans nuance.

Le cercle gradué n'est pas le traité entier. La division en 360 degrés est employée dans le traité traditionnellement attribué à Hypsiclès, sans que son invention lui soit établie ; le même traité porte aussi sur les signes zodiacaux, la numération sexagésimale et les progressions arithmétiques. Une lecture limitée à la graduation ferait disparaître son contenu astronomique.

Le livre XIV n'est pas une partie originale certaine d'Euclide. Son étude du dodécaèdre et de l'icosaèdre ne suffit pas à établir qu'il appartient à la version initiale des Éléments : la source le considère apocryphe, donc ajouté après cette version.

L'article Les Éléments d'Euclide, entre art et science permet de replacer le livre XIV attribué à Hypsiclès dans l'histoire éditoriale et culturelle des Éléments. Le lecteur y gagne un contexte plus large pour comprendre pourquoi ce livre est considéré comme apocryphe.