John Wallis
John Wallis est un mathématicien anglais surtout connu pour la formule de Wallis, un produit infini dont les facteurs rapprochent progressivement le résultat de π/2. Il a aussi contribué aux fondements du calcul intégral en intégrant (1-x²)ⁿ par la méthode des indivisibles, pour n entier naturel, et en proposant des méthodes ensuite développées par Newton.
Contents
What you will learn
- Situer John Wallis, son accès aux mathématiques et sa chaire à Oxford.
- Lire la formule de Wallis et distinguer produit infini et produit partiel.
- Recalculer les quatre premières approximations de π/2.
- Relier le travail de Wallis sur les indivisibles aux fondements du calcul intégral.
In plain terms
En 1649, John Wallis devient professeur de géométrie à Oxford, après n'avoir rencontré les mathématiques qu'en 1645. Son parcours conduit pourtant à une formule restée célèbre : une multiplication qui se poursuit sans fin donne π/2.
Chaque nouveau facteur corrige le résultat du produit. Les premières étapes n'atteignent pas encore π/2, mais elles s'en rapprochent. Wallis travaille aussi sur des intégrales avec la méthode des indivisibles, participant ainsi aux fondements du calcul intégral.
Definition
John Wallis est un mathématicien anglais né en 1616 et mort en 1703. Après avoir lu en 1645 le Clavis mathematicae d'Oughtred, il rédige un traité sur les sections angulaires. En 1649, il obtient la chaire Savilian de géométrie de l'université d'Oxford et l'occupe pendant cinquante ans.
Son résultat le plus connu est la formule de Wallis. Pour chaque entier positif n, le facteur de rang n vaut 4n²/(4n² − 1). Le produit de tous ces facteurs converge vers π/2 :
Le mot « infini » est essentiel : un produit arrêté après un nombre fini de facteurs n'est qu'une approximation de π/2.
Wallis contribue aussi aux fondements du calcul intégral. Par la méthode des indivisibles, il intègre la fonction (1 − x²)n et propose des méthodes d'évaluation d'intégrales que Newton reprendra et développera.
A step-by-step example
Calculons les quatre premiers facteurs de la formule de Wallis afin d'obtenir une approximation de π/2.
Données :
rangs utilisés : n = 1, 2, 3 et 4 ;
facteur de rang n : 4n²/(4n² − 1) ;
valeur de contrôle : π/2 ≈ 1,570796.
rangs utilisés : n = 1, 2, 3 et 4 ;
facteur de rang n : 4n²/(4n² − 1) ;
valeur de contrôle : π/2 ≈ 1,570796.
1. Pour n = 1, le premier facteur vaut 4/3, soit environ 1,333333.
2. Pour n = 2, on multiplie par 16/15 : le produit vaut 64/45, soit environ 1,422222.
3. Pour n = 3, on multiplie par 36/35 : le produit vaut 256/175, soit environ 1,462857.
4. Pour n = 4, on multiplie par 64/63 : le produit vaut 16 384/11 025, soit environ 1,486077.
2. Pour n = 2, on multiplie par 16/15 : le produit vaut 64/45, soit environ 1,422222.
3. Pour n = 3, on multiplie par 36/35 : le produit vaut 256/175, soit environ 1,462857.
4. Pour n = 4, on multiplie par 64/63 : le produit vaut 16 384/11 025, soit environ 1,486077.
Après quatre facteurs, l'approximation est donc 1,486077. Le contrôle consiste à refaire les multiplications exactes, puis à comparer avec 1,570796 : l'écart est encore d'environ 0,084719. La formule affirme que cet écart tend vers zéro lorsque le nombre de facteurs tend vers l'infini.
In practice
Pour reconnaître la formule de Wallis, on observe une multiplication indéfinie de fractions dont les numérateurs sont 4n² et les dénominateurs 4n² − 1. Si seules quelques fractions sont multipliées, on parle d'un produit partiel et non de la valeur exacte π/2.
Pour suivre son efficacité numérique, on calcule plusieurs produits partiels et on les compare à π/2. Lorsque le but est seulement d'obtenir une valeur décimale de π, une autre méthode peut être préférable ; le critère utile est alors la vitesse d'approximation demandée.
Dans l'histoire du calcul intégral, le nom de Wallis signale aussi un travail sur (1 − x²)n par la méthode des indivisibles. Le contexte permet donc de savoir si l'on étudie le produit infini ou ses méthodes d'évaluation d'intégrales.
Not to be confused with
John Wallis et la formule de Wallis. John Wallis est le mathématicien anglais ayant vécu de 1616 à 1703 ; la formule de Wallis est son produit infini donnant π/2. Une date ou la chaire d'Oxford renvoie à la personne, tandis qu'une suite de fractions renvoie au résultat.
Produit infini et calcul intégral. Le premier multiplie une suite illimitée de facteurs ; le second étudie ici l'intégration de (1 − x²)n par les indivisibles. La présence d'une multiplication répétée ou d'une fonction à intégrer tranche entre les deux contributions.
Limits and pitfalls
Un arrêt prématuré. Après quatre facteurs, le produit vaut environ 1,486077 et non π/2. Le symptôme est un signe égal placé entre une valeur partielle et π/2 ; il faut employer « environ » et préciser le nombre de facteurs.
Le rang zéro. La formule commence à n = 1. Introduire n = 0 ferait apparaître le facteur 0/(−1), annulerait le produit et détruirait l'identité ; il faut conserver les entiers strictement positifs.
Une attribution trop large. La source associe précisément Wallis au produit infini pour π/2, à l'étude de (1 − x²)n et à des méthodes d'intégration reprises par Newton. Elle ne date pas séparément ces résultats ; il faut donc éviter de leur attribuer une année non établie ici.
Further reading
Un prolongement naturel consiste à étudier la suite des produits partiels de Wallis : chaque étape est rationnelle, tandis que leur limite fait apparaître π. Cette transition d'un calcul fini à une limite infinie relie le produit de Wallis aux idées fondatrices de l'analyse.
On peut aussi comparer le rôle du produit infini et celui de l'intégration de (1 − x²)n dans l'œuvre de Wallis. Les deux pistes éclairent la manière dont des procédures de calcul préparent le développement du calcul intégral.
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