Leading coefficient
En algèbre linéaire, l'élément dominant d'une ligne d'une matrice échelonnée est le premier élément non nul de cette ligne, aussi appelé pivot. La notion de terme dominant d'un polynôme désigne le monôme de plus haut degré. En analyse asymptotique, un terme est dominant relativement à la limite étudiée lorsque le rapport de l'expression à ce terme tend vers 1. Ces notions sont centrales dans la réduction des matrices, le calcul polynomial et l'analyse des algorithmes.
Contents
What you will learn
- Distinguer terme dominant et coefficient dominant dans un polynôme.
- Repérer le pivot d'une ligne de matrice échelonnée.
- Vérifier par un quotient qu'un terme gouverne un comportement asymptotique.
- Reconnaître les annulations et les changements de limite qui invalident une lecture trop rapide.
In plain terms
Dans le polynôme 3x4 + 2x2 + 5, les puissances de x ne jouent pas toutes le même rôle. Lorsque la valeur absolue de x devient grande, le terme 3x4 prend l'ascendant sur les deux autres. Son coefficient, 3, est le coefficient dominant.
L'idée change légèrement avec l'objet étudié. Dans un polynôme, on regarde le plus haut degré. Dans une ligne de matrice échelonnée, on repère le premier nombre non nul : c'est le pivot. Dans une estimation asymptotique, on garde la contribution qui impose l'allure générale.
Definition
Pour un polynôme non nul écrit comme une somme de monômes de degrés distincts, le terme dominant est le monôme de plus haut degré. Le nombre qui le multiplie est le coefficient dominant. Ainsi, pour le polynôme P défini par , le terme dominant est 3x4, le degré vaut 4 et le coefficient dominant vaut 3. Cette identification suppose que les termes semblables ont d'abord été regroupés.
Dans une matrice échelonnée, l'élément dominant d'une ligne non nulle est son premier élément non nul, lu de gauche à droite. On l'appelle aussi pivot. Entre deux lignes non nulles consécutives, la colonne du pivot se décale strictement vers la droite. Le mot « dominant » ne signifie donc pas ici « plus grande valeur ».
En analyse asymptotique, un terme est dominant relativement à une limite précisée. Pour P lorsque la valeur absolue de x tend vers l'infini, le quotient de P(x) par 3x4 tend vers 1 : . Le même principe isole la croissance déterminante dans le coût d'un algorithme. Au voisinage d'un point singulier, le terme retenu peut être différent : la limite étudiée fait partie de l'énoncé.
A step-by-step example
On étudie le polynôme P défini par . Données : ses trois monômes ont pour degrés respectifs 4, 2 et 0 ; leurs coefficients sont 3, 2 et 5 ; la valeur de contrôle choisie est x = 10.
1. Comparer les degrés donne 4 > 2 > 0. Le monôme de degré 4 est donc le terme dominant : 3x4. Son coefficient dominant est 3. La représentation des trois termes rend ce classement visible sans modifier le calcul.
2. À x = 10, le terme dominant vaut 3 × 104 = 30 000. Le polynôme entier vaut P(10) = 30 000 + 200 + 5 = 30 205.
3. Le reste représente 205 ÷ 30 000 ≈ 0,00683, soit environ 0,683 % du terme dominant. Ce contrôle numérique montre déjà que 3x4 gouverne la taille de P(x) pour une grande valeur positive de x.
4. Le contrôle général consiste à diviser le reste par le terme dominant.
Les deux fractions tendent vers 0 lorsque la valeur absolue de x tend vers l'infini ; le quotient P(x) ÷ 3x4 tend donc vers 1.
In practice
Pour prévoir l'allure d'un polynôme loin de l'origine, on regroupe d'abord les puissances identiques, puis on lit le terme de plus haut degré. Un calcul exact avec le polynôme complet reste préférable dès que la valeur de x n'est pas assez grande pour rendre les autres termes négligeables.
Dans la réduction d'une matrice, on repère le pivot de chaque ligne non nulle afin d'éliminer les coefficients situés dans sa colonne. Si la matrice n'est pas encore échelonnée, il faut d'abord effectuer des opérations sur les lignes ; la simple lecture du premier nombre non nul ne suffit pas à décrire une structure échelonnée.
Pour comparer des coûts d'algorithmes lorsque la taille des données augmente, on isole le terme qui croît le plus vite. On conserve toutefois l'expression complète pour une petite taille ou lorsqu'on cherche un temps réel : les constantes et les termes secondaires peuvent alors peser davantage.
Not to be confused with
Terme dominant et coefficient dominant. Le terme contient la variable et sa puissance ; le coefficient est seulement le nombre multiplicateur. Dans 3x4 + 2x2 + 5, le terme dominant est 3x4, tandis que le coefficient dominant est 3.
Pivot et plus grand coefficient d'une ligne. Le pivot d'une ligne échelonnée est le premier élément non nul, pas celui de plus grande valeur absolue. Dans la ligne (0, 3, 20), le pivot est 3, même si 20 est plus grand.
Terme dominant et coefficient de plus grande valeur. Le degré décide dans un polynôme, non la taille des coefficients. Dans 3x4 + 2x2 + 5, le coefficient 5 est le plus grand, mais le terme dominant demeure 3x4.
Limits and pitfalls
Polynôme nul. Après regroupement, tous les coefficients peuvent s'annuler. Le polynôme nul n'a alors ni degré ni coefficient dominant selon la convention usuelle ; il ne faut pas choisir arbitrairement l'un des termes de l'écriture initiale.
Annulation de termes de même degré. Dans 3x4 − 3x4 + 2x2 + 5, les deux termes de degré 4 disparaissent. Le terme dominant devient 2x2 seulement après simplification.
Limite non précisée. Dire qu'un terme « domine » sans indiquer vers quoi tend la variable peut être faux ou incomplet. Pour 3x4 + 2x2 + 5, le terme constant 5 domine au voisinage de x = 0 au sens où les autres tendent vers 0, tandis que 3x4 domine lorsque la valeur absolue de x tend vers l'infini.
Ordres identiques. Deux contributions de même ordre peuvent toutes deux compter, voire s'annuler. Avant de ne garder qu'un terme en asymptotique, il faut les combiner et vérifier que le coefficient obtenu n'est pas nul.
Further reading
L'analyse d'un algorithme donne un terrain naturel au terme dominant : elle relie la taille des données au nombre d'opérations à prévoir.
Cette lecture asymptotique permet de comparer des rythmes de croissance sans confondre le comportement à grande échelle avec le temps exact d'une exécution particulière.
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