Menelaus' theorem

Tracez un triangle, puis une droite qui coupe les trois droites portant ses côtés. Certains points de coupe peuvent se trouver au-delà des sommets. Le théorème de Ménélaüs relie alors trois rapports de longueurs orientées. Leur produit permet de reconnaître l’alignement des trois points, même lorsque le dessin est trompeur.

Le théorème de Ménélaüs caractérise l’alignement de trois points associés à un triangle. Dans un triangle ABC, le point P appartient à la droite (BC), le point Q à la droite (CA) et le point R à la droite (AB). Les points peuvent appartenir aux côtés eux-mêmes ou à leurs prolongements.

Les segments sont mesurés algébriquement, c’est-à-dire avec un signe fixé par une orientation choisie sur chaque droite. Avec la convention qui écrit les segments de P vers B et C, de Q vers C et A, puis de R vers A et B, le critère est : $\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\times \frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\times \frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=1\backslash frac\{\backslash overline\{PB\}\}\{\backslash overline\{PC\}\}\backslash times\backslash frac\{\backslash overline\{QC\}\}\{\backslash overline\{QA\}\}\backslash times\backslash frac\{\backslash overline\{RA\}\}\{\backslash overline\{RB\}\}=1$. L’égalité est nécessaire et suffisante : l’alignement entraîne le produit, et le produit entraîne l’alignement lorsque les rapports sont définis.

Une autre convention fréquente inverse l’orientation de trois numérateurs et fait apparaître −1 au lieu de 1. La géométrie ne change pas ; seule l’écriture des segments dirigés change.

Soit ABC un triangle non dégénéré. Soient P sur (BC), Q sur (CA) et R sur (AB), sans qu’aucun dénominateur de l’égalité soit nul. Alors P, Q et R sont alignés si et seulement si les segments dirigés vérifient :

Ce critère sert donc dans les deux sens : calculer un rapport manquant sur une droite déjà connue, ou prouver un alignement à partir de trois rapports.

Le cadre est un triangle ABC non dégénéré et trois points placés sur les droites supports de ses côtés : P sur (BC), Q sur (CA) et R sur (AB). Les longueurs doivent être dirigées selon une convention cohérente. Les points qui apparaissent comme extrémités des dénominateurs ne doivent pas les rendre nuls.

Si l’on emploie seulement des longueurs ordinaires positives, le signe disparaît et le test peut donner un verdict faux. Il faut alors rétablir les signes des segments dirigés. Si A, B et C sont alignés, il n’existe plus de triangle non dégénéré : ce théorème ne s’applique pas dans cette configuration.

On considère le triangle de sommets A, B et C. Le point P est le milieu du côté [BC]. Le point Q partage [CA] de sorte que CQ représente un tiers de CA. La droite (PQ) rencontre le prolongement de (AB) au-delà de B en R. La figure matérialise cette même configuration et les trois rapports dirigés.

1. Comme P est entre B et C et à égale distance des deux sommets, $\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}=-1\backslash frac\{\backslash overline\{PB\}\}\{\backslash overline\{PC\}\}=-1$.
2. Comme CQ vaut un tiers de CA, QA en vaut deux tiers ; les directions sont opposées, donc $\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}=-\frac{1}{2}\backslash frac\{\backslash overline\{QC\}\}\{\backslash overline\{QA\}\}=-\backslash frac\{1\}\{2\}$.
3. Le critère de Ménélaüs impose alors $(-1)\times (-\frac{1}{2})\times \frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=1(-1)\backslash times(-\backslash frac\{1\}\{2\})\backslash times\backslash frac\{\backslash overline\{RA\}\}\{\backslash overline\{RB\}\}=1$.
4. On obtient exactement $\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=2\backslash frac\{\backslash overline\{RA\}\}\{\backslash overline\{RB\}\}=2$.

Le contrôle est refaisable : (−1) × (−1/2) × 2 = 1. Le produit confirme à la fois la position de R sur le prolongement et l’alignement de P, Q et R.

Pour prouver que trois points sont alignés dans une figure triangulaire, on repère d’abord les trois droites supports. On calcule ensuite les rapports dirigés dans un ordre cohérent et on contrôle leur produit. Une preuve par coordonnées reste préférable si les points ne sont pas naturellement rattachés aux trois côtés.

Pour trouver une longueur manquante, on isole le rapport inconnu dans l’égalité de Ménélaüs. Le signe du rapport aide aussi à déterminer si le point est entre les deux sommets ou à l’extérieur. Une mesure positive prise dans la représentation ne suffit donc pas : la position sur le côté ou son prolongement doit être vérifiée.

Le théorème de Ménélaüs ne doit pas être confondu avec le théorème de Céva. Ménélaüs porte sur trois points situés sur les droites des côtés et teste leur alignement. Céva porte sur trois céviennes issues des sommets et teste leur concurrence. Une droite qui traverse les trois côtés relève de Ménélaüs ; trois droites qui se rencontrent en un même point relèvent de Céva.

Un point placé sur un prolongement n’est pas une exception : il fait partie du domaine normal du théorème. Le piège consiste à remplacer son rapport dirigé par un rapport de longueurs positives. Si le produit attendu change de signe, il faut reprendre l’orientation de chaque segment.

Un dénominateur nul rend le quotient correspondant indéfini. La forme affine du critère ne doit alors pas être manipulée comme une égalité ordinaire. De même, un triangle aplati ne fournit plus trois droites de côtés distinctes : il faut revenir à un autre cadre géométrique.

Le résultat 1 dépend de l’ordre PB/PC, QC/QA et RA/RB. En écrivant BP/PC, CQ/QA et AR/RB avec des segments dirigés, trois signes sont inversés et le produit devient −1. Mélanger les deux conventions dans un même calcul invalide le test.

En géométrie projective, le même alignement se lit dans des coordonnées homogènes. Les trois points peuvent être représentés respectivement sous les formes (0, q, r), (p, 0, r) et (−p, q, 0). Cette écriture met en évidence une relation qui ne dépend pas des longueurs euclidiennes elles-mêmes, mais de rapports et d’incidence.