multiperfect number

Prenons 120 et rassemblons tous les entiers qui le divisent sans reste, de 1 à 120 lui-même. Leur somme vaut 360. Comme 360 représente exactement trois fois 120, le nombre 120 est dit triparfait.

Un nombre multiparfait se reconnaît donc à un équilibre précis : l'addition de tous ses diviseurs retombe sur un nombre entier de copies du nombre de départ. Ce nombre de copies est désigné par la lettre k dans l'expression k-parfait.

Pour un entier naturel positif n, la somme de tous ses diviseurs positifs, n compris, est notée σ(n). Le nombre n est k-parfait, ou multiparfait, lorsque cette somme est un multiple entier exact de n. Le nombre entier k indique la multiplicité : $\sigma (n)=kn\backslash sigma(n)=k\; n$. Les appellations nombre parfait multiple, biparfait, triparfait et k-parfait expriment la même relation en précisant éventuellement la valeur de k.

Le cas k = 2 est celui d'un nombre parfait : la somme de tous ses diviseurs vaut deux fois le nombre. Pour k = 3, le nombre est triparfait ; 120 en fournit l'exemple conducteur, puisque σ(120) = 360 = 3 × 120. Les préfixes se poursuivent avec tétra- ou quadri-, penta-, hexa-, hepta- et octa- selon la multiplicité considérée.

La définition exige une égalité exacte et un quotient entier. Savoir seulement que la somme dépasse le nombre, ou même qu'elle dépasse son double, ne suffit pas. La source recense en 2006 des nombres allant du cas biparfait au cas octaparfait et signale que tous les exemples alors connus sont pairs ; l'existence d'un nombre multiparfait impair y reste une question ouverte.

Les plus petits nombres parfait et triparfait étaient déjà connus dans l'Antiquité. Descartes a mis en évidence les plus petits quadriparfait et pentaparfait. Les plus petits hexaparfait et heptaparfait n'ont été découverts qu'au 20e siècle.

Vérifions directement le cas de 120. Les données sont le nombre n = 120 et ses diviseurs positifs, présentés dans la figure pour que leur inventaire puisse être contrôlé.

1. On liste sans doublon les seize diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 et 120.

2. On additionne les seize valeurs.

3. On compare la somme au nombre de départ : 360 ÷ 120 = 3. Le quotient est un entier, donc 120 est 3-parfait, autrement dit triparfait.

Le contrôle se refait en sens inverse : 3 × 120 = 360. Cette égalité retrouve exactement la somme des seize diviseurs, sans oublier 120 lui-même.

Pour tester un entier candidat, on dresse la liste complète de ses diviseurs positifs, on calcule leur somme, puis on divise cette somme par l'entier. Si le quotient est entier, il donne directement la valeur de k.

Lorsque l'objectif est seulement de reconnaître un nombre parfait, il suffit de vérifier le cas k = 2. Pour une recherche multiparfaite plus large, il faut conserver le quotient obtenu : le seul constat que la somme dépasse le double du nombre ne révèle pas encore la valeur de k.

Pour contrôler une liste publiée, la date compte autant que les effectifs. Le bilan cité par la source vaut pour 2006 ; il décrit un état du recensement, pas une quantité figée par la définition.

Un carré parfait est le carré d'un entier ; son critère ne porte pas sur la somme de ses diviseurs. Ainsi, 36 est un carré parfait, mais la somme de ses diviseurs vaut 91 et 91 ÷ 36 n'est pas un entier : 36 n'est pas multiparfait.

Le diviseur n lui-même appartient à la somme σ(n). Si l'on additionne seulement les diviseurs propres de 120, on obtient 240 et non 360. Le bon réflexe consiste soit à réintégrer 120, soit à employer l'identité équivalente « somme des diviseurs propres = (k − 1)n ».

Le quotient σ(n) ÷ n doit être entier. Une valeur non entière, même très proche de 2, 3 ou 4, ne définit aucun cas k-parfait : il n'y a ni arrondi ni tolérance dans ce critère arithmétique.

Les effectifs donnés par la source sont datés de 2006 : 2 046 nombres recensés du biparfait à l'octaparfait, dont 44 parfaits, 6 triparfaits, 36 tétraparfaits et 1 134 octoparfaits. Ces nombres décrivent ce recensement et ne complètent pas, à eux seuls, les catégories intermédiaires.

Tous les nombres multiparfaits actuellement connus dans la source sont pairs. Cette observation ne démontre pas que tout nombre multiparfait est pair : l'existence d'un exemple impair y demeure ouverte.

Le cas k = 2 conduit à la notion de nombre parfait. Cette fiche précise le rôle des diviseurs propres et replace le cas biparfait dans son vocabulaire classique.