Pisot number

Prenons le nombre plastique, environ 1,324718. Il annule le polynôme x³ − x − 1. Ce polynôme possède aussi deux autres racines, qui forment une paire de nombres complexes conjugués. Sur le plan complexe, chacune se trouve à moins d'une unité de zéro.

C'est ce contraste qui caractérise un nombre de Pisot : une racine réelle dépasse 1, tandis que toutes ses compagnes algébriques restent strictement à l'intérieur du cercle de rayon 1.

Un entier algébrique est un nombre qui annule un polynôme unitaire à coefficients entiers. Soit β un tel entier, réel et strictement supérieur à 1. Ses conjugués algébriques sont les autres racines de son polynôme minimal sur les rationnels. Le nombre β est un nombre de Pisot-Vijayaraghavan lorsque chacun de ces conjugués, noté β_i, vérifie . Les inégalités sont strictes : une racine de module exactement 1 ne convient pas.

Le nombre plastique fournit l'exemple conducteur. Il est la racine réelle unique β du polynôme unitaire x³ − x − 1 et vaut environ 1,324718. Ses deux autres racines sont complexes conjuguées. Leur module commun est d'environ 0,868837, donc inférieur à 1 : β satisfait bien le critère. La définition source donne aussi à ce nombre l'appellation « nombre d'argent ».

Le nombre d'or est un autre nombre de Pisot : c'est la racine positive de x² − x − 1, environ 1,618, et son autre racine a pour module environ 0,618. Le nombre plastique est le plus petit nombre de Pisot. Le nombre d'or joue un rôle différent : il est le plus petit point d'accumulation de leur ensemble, c'est-à-dire la plus petite valeur autour de laquelle se rapprochent une infinité de nombres de Pisot distincts.

On veut vérifier le critère pour la racine réelle β de x³ − x − 1. Les données sont le polynôme unitaire, la valeur β ≈ 1,324718 et ses deux autres racines complexes, approximativement −0,662359 + 0,562280 i et −0,662359 − 0,562280 i.

1. Le polynôme est unitaire et ses coefficients sont entiers : β est donc un entier algébrique.
2. La valeur β ≈ 1,324718 est réelle et dépasse strictement 1.
3. Pour chaque autre racine, on calcule le module à partir de ses parties réelle et imaginaire.
4. Le calcul donne $\sqrt{(-\mathrm{0,662359}{)}^2+(\mathrm{0,562280}{)}^2}\approx \mathrm{0,868837}\backslash sqrt\{(-0\{,\}662359)^2+(0\{,\}562280)^2\}\backslash approx0\{,\}868837$.
5. Les deux racines étant conjuguées, elles ont ce même module, strictement inférieur à 1.

Les trois conditions sont réunies : β est un nombre de Pisot. On peut refaire le contrôle sans les décimales : le produit des trois racines vaut 1, donc le carré du module commun des deux racines complexes vaut 1/β, une quantité strictement inférieure à 1.

Pour tester un candidat, on part de son polynôme minimal. Il faut vérifier successivement que le candidat est un entier algébrique réel supérieur à 1, puis calculer toutes les autres racines. Si l'une atteint ou dépasse le cercle unité, on écarte le candidat au lieu de conclure à partir de sa seule valeur réelle.

Dans un problème d'approximation diophantienne où apparaît la condition de Pisot, le geste utile consiste à identifier le polynôme minimal puis à comparer les modules de ses racines. Si le problème demande seulement une approximation numérique, un calcul décimal direct suffit ; il ne faut pas lui attribuer à tort une conclusion sur les conjugués.

Dans certains problèmes sur les séries de Fourier, la même condition algébrique est apparue indépendamment. Lorsqu'elle intervient, le bon réflexe reste de revenir au polynôme minimal et aux modules de toutes ses racines, plutôt que de se fier à une valeur décimale proche d'un exemple connu.

Entier réel ordinaire. Être supérieur à 1 ne suffit pas. Le critère porte sur un entier algébrique et sur tous ses conjugués. Par exemple, le nombre plastique est retenu après examen des trois racines de x³ − x − 1, pas seulement parce que 1,324718 dépasse 1.

Point d'accumulation. Le plus petit élément et le plus petit point d'accumulation répondent à deux questions différentes. Le nombre plastique, environ 1,324718, est le plus petit nombre de Pisot ; le nombre d'or, environ 1,618, est la plus petite valeur approchée par une infinité de nombres de Pisot distincts.

Le seuil 1 est strict. Un candidat réel égal à 1 échoue à la condition β > 1. De même, un seul conjugué de module exactement 1 suffit à l'exclure. Il faut donc conserver assez de précision numérique ou établir une inégalité exacte lorsqu'une racine paraît proche du cercle unité.

Toutes les racines d'un polynôme annulateur ne sont pas automatiquement des conjugués. Le test doit utiliser le polynôme minimal de β. Un polynôme annulateur comportant un facteur supplémentaire introduirait des racines étrangères et pourrait produire un faux rejet.

Une approximation décimale ne prouve pas le statut algébrique. La valeur 1,324718 aide à repérer le nombre plastique, mais la preuve repose sur le polynôme unitaire x³ − x − 1 et sur ses conjugués. Il faut revenir à ces données exactes avant de conclure.

Les deux minima n'ont pas le même sens. Dire que le nombre d'or est le plus petit point d'accumulation ne signifie pas qu'aucun nombre de Pisot n'est plus petit. Le nombre plastique en fournit précisément un, avec 1,324718 < 1,618.

La condition a d'abord été étudiée par G. H. Hardy (1877–1947) en approximation diophantienne. Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955) l'a reprise et développée dans les années 1920. Elle est apparue indépendamment dans certains problèmes sur les séries de Fourier, étudiés plus tard par Charles Pisot (1910–1984), d'où l'appellation actuelle de nombres de Pisot-Vijayaraghavan.

Une piste naturelle consiste à étudier l'ensemble de ces nombres sur la droite réelle. Le contraste entre son plus petit élément, le nombre plastique, et son plus petit point d'accumulation, le nombre d'or, montre qu'un ensemble peut avoir des éléments isolés tout en possédant des zones où ses valeurs se resserrent indéfiniment.