Primorial of an integer

Prenez les entiers jusqu’à 15 et ne gardez que ceux qui sont premiers : 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Multipliez ces six nombres. Le résultat, 30 030, est la primorielle de 15.

Les nombres composés, comme 14 et 15, ne participent pas au produit. La valeur ne change donc pas tant qu’aucun nouveau nombre premier n’est rencontré.

Soit un entier naturel appelé n. Sa primorielle, notée n# ou P(n), est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. En notant p chacun de ces nombres premiers, la définition s’écrit :

Chaque nombre premier apparaît une seule fois dans ce produit. Un entier composite n’ajoute donc aucun facteur. Ainsi, pour l’exemple conducteur, 15# reprend les facteurs premiers 2, 3, 5, 7, 11 et 13, mais ignore 14 et 15. La valeur reste constante après 13 et jusqu’à l’entier qui précède le nombre premier suivant : 13# = 14# = 15# = 30 030. Elle change précisément lorsqu’un nouveau nombre premier entre dans l’ensemble des facteurs.

On cherche la primorielle de l’entier naturel 15. Les données sont la borne 15 et les nombres premiers qui ne la dépassent pas : 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Les entiers 14 et 15 sont composés et ne figurent pas parmi les facteurs.

1. On multiplie 2 par 3 : 2 × 3 = 6.
2. On multiplie le résultat par 5 : 6 × 5 = 30.
3. On poursuit avec 7 : 30 × 7 = 210.
4. On incorpore 11 : 210 × 11 = 2 310.
5. On incorpore 13 : 2 310 × 13 = 30 030.

Le résultat est donc 15# = 30 030. Pour le contrôler, on peut regrouper autrement les mêmes facteurs : (2 × 3 × 5) × (7 × 11 × 13) = 30 × 1 001 = 30 030. Ce second calcul retrouve exactement la même valeur sans ajouter ni omettre de facteur.

Pour calculer une primorielle, on dresse les nombres premiers jusqu’à la borne, puis on les multiplie une seule fois chacun. Avec la borne 15, la liste s’arrête à 13.

Pour comparer deux primorielles, on regarde d’abord si un nombre premier sépare leurs bornes. Entre 13 et 15, aucun nouveau facteur premier n’entre dans le produit, donc les trois valeurs sont égales.

Pour contrôler un résultat, on vérifie à la fois la liste des facteurs et chaque multiplication. Cette double vérification détecte aussi bien un nombre composé ajouté par erreur qu’un produit numérique faux.

Primorielle et factorielle. La primorielle de n ne multiplie que les nombres premiers inférieurs ou égaux à n, tandis que la factorielle de n multiplie tous les entiers positifs jusqu’à n. Pour la borne 15, les facteurs composés 4, 6 ou 15 figurent dans 15!, mais jamais dans 15#.

Primorielle et produit des facteurs premiers d’un entier. Pour 15#, la borne 15 sélectionne tous les nombres premiers jusqu’à 15. La décomposition de 15, elle, ne contient que les facteurs premiers de 15 : 3 × 5. Le critère est donc la borne dans le premier cas, et la divisibilité de l’entier dans le second.

Une borne composée n’est pas un facteur. Dans 15#, les entiers 14 et 15 sont sous la borne, mais ils ne sont pas premiers. Les inclure produit un résultat trop grand ; il faut filtrer la liste avant de multiplier.

La valeur ne croît pas à chaque entier. Passer de 13 à 14, puis à 15, ne change aucun facteur. Le cas charnière est l’arrivée d’un nouveau nombre premier : c’est seulement alors que la primorielle précédente est multipliée par ce nombre.

Le symbole # ne signifie pas une multiplication supplémentaire. Dans n#, il fait partie de la notation de la primorielle. Pour savoir quels facteurs employer, il faut revenir à la condition « premier et inférieur ou égal à n ».

Le glossaire nombre premier précise le critère qui décide quels entiers entrent dans une primorielle.

L’article L'inépuisable théorème des nombres premiers prolonge la réflexion sur la répartition des facteurs qui font changer les primorielles.