random Fibonacci sequence

Imaginez deux nombres écrits sur une feuille. Pour obtenir le suivant, vous tirez au sort entre les additionner et les soustraire, puis vous gardez la valeur absolue du résultat. Avec 1 et 2, un choix « + » donne 3, tandis qu’un choix « − » donne 1. Le couple de nombres change donc à chaque étape, et le hasard modifie le chemin suivi. La règle ressemble à celle de Fibonacci, mais elle ne produit pas une suite unique : chaque tirage peut engendrer une nouvelle histoire.

Une suite de Fibonacci aléatoire est une suite de nombres construite à partir de deux termes initiaux. À chaque rang, on choisit aléatoirement l’addition ou la soustraction des deux termes précédents, puis on prend la valeur absolue du résultat. Si les termes précédents sont notés Fₙ₋₁ et Fₙ₋₂, la probabilité p désigne la chance de choisir l’une des deux opérations selon le modèle retenu.

La version généralisée introduit un paramètre k strictement positif. Le terme Fₙ vaut alors kFₙ₋₁ + Fₙ₋₂ lorsque le n-ième lancer de pièce donne pile, et |kFₙ₋₁ − Fₙ₋₂| lorsqu’il donne face. Les termes initiaux, la loi de chaque tirage et la valeur de k doivent être fixés pour définir une expérience précise.

La suite classique de Fibonacci correspond à une règle sans tirage : chaque terme est toujours la somme des deux précédents. Dans le cas aléatoire, l’objet étudié est donc une famille de suites possibles. Son comportement stochastique se relie à la théorie des produits aléatoires de matrices, plutôt qu’à une progression déterministe unique.

Une réalisation de la suite repose sur plusieurs éléments. Les deux termes initiaux lancent le calcul. Le rang n repère le terme que l’on veut produire. Les deux termes précédents fournissent les nombres utilisés à cette étape. Le tirage aléatoire sélectionne l’addition ou la soustraction, et la valeur absolue rend le résultat non négatif. Dans la version généralisée, le paramètre k pondère le terme précédent Fₙ₋₁.

Le tirage détermine l’opération, tandis que les termes précédents déterminent les valeurs auxquelles elle s’applique. Le choix de k modifie donc le calcul avant même l’intervention du hasard. Ces données suffisent à construire chaque terme successivement, mais elles ne suffisent pas à prévoir une trajectoire unique lorsque les tirages ne sont pas connus.

Prenons une suite aléatoire simple, avec les deux termes initiaux 1 et 2. Pour cet exemple, la valeur absolue est appliquée après chaque somme ou différence. Les cinq tirages successifs sont, dans l’ordre, +, −, +, − et +.

Les données de départ sont F₁ = 1, F₂ = 2 et la suite des choix +, −, +, −, +.

Le premier choix donne F₃ = |1 + 2| = 3.
Le deuxième choix donne F₄ = |3 − 2| = 1.
Le troisième choix donne F₅ = |1 + 3| = 4.
Le quatrième choix donne F₆ = |4 − 1| = 3.
Le cinquième choix donne F₇ = |3 + 4| = 7.

La réalisation obtenue commence donc par 1, 2, 3, 1, 4, 3, 7. Le contrôle consiste à reprendre chaque paire de termes voisins avec le choix annoncé : chaque résultat est bien la valeur absolue de la somme ou de la différence correspondante.

Pour construire une réalisation à la main, on fixe deux termes de départ, puis on note le résultat de chaque tirage avant de calculer le terme suivant. Cette trace permet de distinguer la règle de calcul du hasard qui choisit l’opération.

Pour comparer plusieurs réalisations, on conserve les mêmes termes initiaux et la même loi de tirage, puis on répète l’expérience. Cette méthode est préférable à la comparaison de suites obtenues avec des paramètres différents, car elle isole l’effet des choix aléatoires.

Pour une étude théorique, on décrit chaque étape par le couple des deux derniers termes. Le calcul devient alors un enchaînement de transformations choisies au hasard, ce qui prépare l’analyse du comportement à long terme.

La suite de Fibonacci classique suit une règle fixe : le choix est toujours l’addition. Une suite aléatoire, elle, peut produire une différence à certaines étapes. Le cas qui tranche est celui où les deux termes précédents valent 3 et 2 : la règle classique donne 5, tandis qu’un choix « − » dans la suite aléatoire donne 1 après valeur absolue.

Le mot « aléatoire » ne signifie pas que les termes sont indépendants : chaque nouveau terme dépend toujours des deux précédents. Le symptôme d’une lecture erronée est de traiter chaque nombre comme un tirage séparé. Il faut conserver le couple précédent et appliquer la règle au bon rang.

La probabilité p ne suffit pas à définir une réalisation particulière. Deux expériences ayant la même valeur de p peuvent produire des suites différentes, car leurs tirages successifs diffèrent. Il faut donc distinguer une trajectoire observée des propriétés statistiques de l’ensemble des trajectoires.

Dans la version généralisée, la condition k > 0 est une hypothèse du modèle décrit. La remplacer par une autre valeur ou supprimer la valeur absolue définit un autre problème. Pour éviter cette confusion, il faut annoncer séparément le paramètre et l’opération utilisée à chaque lancer.

Au-delà du calcul terme à terme, l’étude porte sur le comportement stochastique de ces suites. Les transformations successives peuvent être représentées par des produits aléatoires de matrices ; cette approche cherche notamment à décrire l’évolution à long terme sans prétendre prévoir chaque tirage.