Sampling

Imaginez une grande population dont on ne peut pas examiner chaque membre. On en sélectionne une partie, appelée échantillon, puis on observe cette partie pour estimer les caractéristiques de l’ensemble. La sélection doit préserver autant que possible ce qui rend la population diverse.

Pour un signal, le geste est analogue : on relève sa valeur à des instants successifs. Ces relevés doivent être assez rapprochés pour que les variations les plus rapides du signal puissent être reconstruites.

L’échantillonnage consiste à sélectionner un sous-ensemble, nommé échantillon, dans un ensemble plus vaste, nommé population. En statistique, les caractéristiques mesurées sur cet échantillon servent à estimer celles de la population entière. La validité de cette inférence dépend de la représentativité recherchée par la méthode de sélection.

En traitement du signal, échantillonner signifie relever les valeurs du signal à une fréquence donnée. On note f_max la fréquence maximale présente dans le signal et f_e la fréquence d’échantillonnage. Pour un signal borné en bande, avec un échantillonnage uniforme et une reconstruction idéale, le théorème de Shannon–Nyquist donne la condition suivante :

La fréquence d’échantillonnage doit donc être strictement supérieure au double de la fréquence maximale du signal. L’égalité ne garantit pas la reconstruction dans le cas général.

Considérons un signal hypothétique dont la fréquence maximale vaut 3 kHz. On souhaite choisir une fréquence d’échantillonnage et compter les prélèvements effectués pendant 1 ms.
Données : fréquence maximale : 3 kHz ; durée observée : 1 ms ; fréquence choisie : 8 kHz.

1. Doubler la fréquence maximale donne le seuil imposé par Shannon–Nyquist : 2 × 3 kHz = 6 kHz.

2. Comparer la fréquence choisie au seuil donne 8 kHz > 6 kHz. La condition stricte de fréquence est satisfaite.

3. Une fréquence de 8 kHz correspond à 8 000 prélèvements par seconde. Comme 1 ms vaut un millième de seconde, le nombre de prélèvements est 8 000 ÷ 1 000 = 8.

Le signal est donc relevé huit fois pendant la milliseconde observée. Le contrôle est refaisable en sens inverse : 8 prélèvements ÷ 0,001 s = 8 000 prélèvements par seconde, soit 8 kHz. La figure matérialise ces huit instants sur un signal de 3 kHz.

Pour étudier une population trop vaste pour être observée intégralement, on sélectionne un échantillon et on mesure sur lui la caractéristique recherchée. Si toute la population peut être examinée, l’observation exhaustive évite d’avoir à inférer le résultat depuis un sous-ensemble.

Pour numériser un signal borné en bande, on fixe une fréquence d’échantillonnage à partir de sa fréquence maximale. Si celle-ci vaut 3 kHz, la fréquence doit, dans le cas standard d’un échantillonnage et d’une reconstruction idéaux, être strictement supérieure à 6 kHz ; une fréquence de 8 kHz satisfait cette condition.

Échantillonnage et échantillon. L’échantillonnage est le processus de sélection ; l’échantillon est le sous-ensemble obtenu. Dans une enquête, choisir les membres relève de l’échantillonnage, tandis que la liste des membres choisis constitue l’échantillon.

Échantillonnage et observation exhaustive. Le premier porte sur un sous-ensemble de la population ; la seconde porte sur la population entière. Si chaque membre est effectivement observé, il n’y a plus d’inférence depuis un échantillon.

Un sous-ensemble n’est pas automatiquement représentatif. Si la sélection laisse de côté une partie de la diversité de la population, les caractéristiques observées ne justifient pas une inférence valide sur l’ensemble. Il faut alors revoir la méthode de sélection.

L’égalité au seuil ne suffit pas en général. Pour une fréquence maximale de 3 kHz, il faut choisir une fréquence strictement supérieure à 6 kHz dans le cas standard. À exactement 6 kHz, une sinusoïde de 3 kHz peut produire des échantillons tous nuls selon sa phase et ne pas être reconstructible.

La fréquence maximale doit être celle du signal considéré. Appliquer le double d’une valeur qui n’est pas sa fréquence maximale ne vérifie pas la condition du théorème. Il faut d’abord déterminer f_max, puis comparer f_e à son double.

Fluctuation d’échantillonnage montre pourquoi deux échantillons issus d’une même population peuvent conduire à des résultats différents.

Signal précise l’objet dont on relève les valeurs en traitement du signal.