Sharkovsky's theorem
Le théorème de Sarkovskii affirme que, pour une fonction continue d’un intervalle réel dans lui-même, l’existence d’un point de période minimale n entraîne celle de points de toutes les périodes placées après n dans l’ordre de Sarkovskii. Cet ordre indique ainsi quelles périodes en forcent d’autres. Comme 3 y précède toutes les autres périodes, un point de période 3 impose toutes les périodes entières positives.
Contents
What you will learn
- Lire l’ordre de Sarkovskii sans le confondre avec l’ordre numérique.
- Vérifier sur une fonction continue un cycle exact de période 3.
- Savoir quelles hypothèses autorisent la conclusion et ce que le théorème ne garantit pas.
In plain terms
Prenons un nombre entre 0 et 1, appliquons toujours la même fonction, puis recommençons avec le résultat obtenu. Il arrive que les valeurs finissent par boucler. Par exemple, une fonction peut envoyer successivement 2/7 sur 4/7, puis sur 6/7, avant de revenir à 2/7 : le cycle comporte trois étapes.
Le théorème de Sarkovskii révèle qu’un tel cycle contraint l’existence d’autres cycles. Le cas spectaculaire est celui d’un cycle de période 3 : pour une fonction continue sur un intervalle, toutes les périodes entières positives existent alors quelque part.
Definition
Le théorème de Sarkovskii concerne une fonction continue, notée f, qui envoie un intervalle réel dans lui-même. Un point x est de période n lorsque sa n-ième itération revient à x, et qu’aucune itération positive plus petite ne le fait. Le nombre n est donc la période minimale du point.
Les entiers positifs sont rangés dans l’ordre de Sarkovskii. Viennent d’abord les nombres impairs à partir de 3, puis leurs doubles, puis leurs quadruples, et ainsi de suite. Les puissances de 2 ferment l’ordre en sens décroissant, jusqu’à 1. Une écriture condensée du début et de la fin de cet ordre est : .
Si f possède un point de période n, elle possède un point de période m pour chaque entier m placé après n dans cet ordre. Comme 3 est placé avant tous les autres entiers, une période 3 impose toutes les périodes positives. Le résultat affirme une existence ; il ne localise pas les cycles et ne dit pas s’ils attirent les points voisins.
The principle
Soit f une fonction continue d’un intervalle réel dans lui-même. Si f possède un point dont la période minimale est l’entier positif n, alors, pour tout entier positif m situé après n dans l’ordre de Sarkovskii, f possède aussi un point de période minimale m. En particulier, l’existence d’un cycle de période 3 entraîne celle de cycles de toute période entière positive.
When to use it
Le domaine doit être un intervalle réel, la fonction doit envoyer cet intervalle dans lui-même et elle doit y être continue. Il faut aussi connaître un point de période minimale n : la seule égalité obtenue après n itérations ne suffit pas si le point revient déjà plus tôt. Ces données garantissent l’existence des périodes placées après n dans l’ordre de Sarkovskii, sans donner leurs positions.
Si la fonction présente un saut, l’hypothèse de continuité échoue et cette conclusion ne peut plus être invoquée. Il faut alors étudier directement les orbites de la fonction ou employer un résultat adapté aux applications discontinues. De même, le théorème énoncé ici ne s’applique pas tel quel à une fonction d’un espace de dimension supérieure.
A step-by-step example
Considérons l’intervalle [0, 1], le point initial x0 = 2/7 et la fonction tente f. Elle double une valeur jusqu’à 1/2, puis redescend symétriquement :
1. Comme 2/7 est inférieur à 1/2, la première branche donne f(2/7) = 4/7.
2. Comme 4/7 est supérieur à 1/2, la seconde branche donne f(4/7) = 2 − 8/7 = 6/7.
3. La même branche donne ensuite f(6/7) = 2 − 12/7 = 2/7. Les trois valeurs 2/7, 4/7 et 6/7 sont distinctes : la période minimale est donc 3.
La fonction est continue sur [0, 1] : ses deux expressions valent 1 au raccord x = 1/2. Le théorème garantit donc des points de toute période entière positive. Le contrôle du cycle se refait en appliquant successivement la branche correspondant à chaque valeur. La figure matérialise ces trois images exactes.
In practice
Pour inventorier les périodes garanties d’une fonction continue sur un intervalle, on cherche d’abord une orbite dont la période minimale est certifiée. On place ensuite cette période dans l’ordre de Sarkovskii : tous les entiers qui la suivent sont automatiquement obtenus comme périodes d’autres points.
Lorsqu’un cycle de période 3 est repéré, le théorème remplace une preuve d’existence séparée pour chaque période. En revanche, si l’objectif est de trouver les points eux-mêmes, il faut résoudre les équations d’itération correspondantes et écarter les retours plus précoces.
Si la fonction est discontinue ou si l’espace n’est pas un intervalle réel, le critère observable est l’échec d’une hypothèse. Une analyse directe des orbites, ou un théorème propre au cadre étudié, doit alors remplacer Sarkovskii.
Not to be confused with
Ordre de Sarkovskii et ordre numérique. Ils ne classent pas les entiers de la même façon. Dans l’ordre de Sarkovskii, 3 vient avant tous les autres, tandis que 1 vient en dernier. Ainsi, une période 5 ne force pas une période 3, même si 3 est numériquement plus petit.
Cycle existant et cycle attractif. Le théorème assure qu’un point périodique existe, pas que les points voisins convergent vers son cycle. Observer une orbite périodique ne suffit donc pas à conclure qu’elle attire son voisinage ; cette propriété demande une étude supplémentaire de la dynamique locale.
Limits and pitfalls
Un retour après n étapes n’établit pas toujours la période n. Un point fixe revient après 2, 3 ou 10 itérations, mais sa période minimale reste 1. Il faut vérifier qu’aucun retour positif plus court n’a lieu.
L’implication suit un seul sens. La fonction continue f(x) = 1 − x sur [0, 1] possède des points de période 2, mais aucun de période 3. Une période placée tard dans l’ordre ne permet donc pas de remonter vers celles qui la précèdent.
La continuité et l’intervalle ne sont pas décoratifs. Un saut dans la fonction ou un domaine non intervalle bloque l’application directe du théorème. Il faut contrôler ces hypothèses avant toute conclusion sur les périodes.
Le mot « chaos » demande une convention. La période 3 impose toutes les périodes et fonde le principe « period three implies chaos ». Le seul inventaire des périodes ne remplace toutefois pas la vérification des propriétés exigées par une définition particulière du chaos.
Further reading
Le système dynamique replace l’itération d’une fonction et ses orbites dans leur cadre général.
La fonction continue précise l’hypothèse qui rend possible la contrainte globale sur les périodes.
Le chaos déterministe aide à distinguer richesse des orbites, imprévisibilité apparente et évolution régie par une règle.
L’article Les débuts de la théorie du chaos ouvre une perspective historique sur les idées auxquelles se rattache le slogan de la période 3.
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