superb sequence

Imaginez une rangée d'entiers strictement positifs et additionnez-les. La suite est superbe si chaque nombre peut partager exactement le total, sans reste. Dans (3, 3, 6, 12), le total vaut 24 : 3, 6 et 12 le divisent exactement. La propriété ne dépend donc pas seulement de chaque terme pris isolément. Elle dépend de l'accord entre les termes et leur somme commune. Une suite infinie peut prolonger cette idée : elle est dite magnifique lorsque chacune de ses troncatures à partir de deux termes forme une suite superbe.

Une suite finie de n entiers strictement positifs, notés a₁, a₂, …, a_n, est superbe lorsque n ≥ 2 et que chacun de ses termes divise la somme totale. Si S désigne cette somme, le critère s'écrit ainsi :

Le symbole S représente donc la somme a₁ + a₂ + … + a_n, tandis que a_i désigne un terme quelconque. Dire que a_i divise S signifie que S est un multiple entier de a_i. La condition porte sur tous les termes, y compris ceux qui apparaissent plusieurs fois. Elle s'applique aux suites finies de longueur au moins 2 et utilise des entiers strictement positifs. La notion connexe de suite magnifique concerne une suite infinie d'entiers strictement positifs : pour chaque n ≥ 2, son préfixe (a₁, a₂, …, a_n) doit être superbe.

Une suite superbe comporte quatre éléments liés. Les termes sont les entiers strictement positifs a₁, a₂, …, a_n. Leur nombre n doit être au moins égal à 2. La somme S rassemble tous les termes, en respectant leurs répétitions. Enfin, la relation de divisibilité compare chaque terme à S : elle doit être vraie pour a₁, puis pour a₂, et ainsi de suite jusqu'à a_n. Modifier un seul terme modifie généralement S et peut donc changer plusieurs vérifications à la fois. Ces données suffisent à tester la propriété : on calcule le total, puis on vérifie l'absence de reste pour chaque terme. L'ordre des termes n'intervient pas dans la somme, mais il devient important lorsqu'on étudie les préfixes d'une suite magnifique.

Considérons la suite (3, 3, 6, 12), l'exemple donné dans la définition de référence. Il faut vérifier que chacun de ses termes divise le même total.

Les données sont les quatre termes 3, 3, 6 et 12. Le total annoncé par leur addition est 24.

3 + 3 + 6 + 12 = 24
24 ÷ 3 = 8
24 ÷ 6 = 4
24 ÷ 12 = 2

Les trois quotients sont entiers, et le terme 3 apparaît deux fois : il est donc vérifié deux fois par la même divisibilité. Le contrôle final est que chaque terme de la suite appartient aux diviseurs de 24 ; la suite est bien superbe.

Pour tester une suite finie, commencez par additionner tous ses termes, en comptant chaque répétition. Le total obtenu devient le nombre à diviser.

Examinez ensuite chaque terme et cherchez le reste de la division du total par ce terme. Un reste nul pour toutes les occurrences confirme la propriété ; un seul reste non nul suffit à l'écarter.

Si la suite étudiée est un début de suite infinie, la vérification doit être reprise pour chaque longueur à partir de deux termes lorsque l'on cherche la propriété de suite magnifique. Une suite finie superbe ne suffit pas, à elle seule, à établir cette propriété infinie.

Une suite superbe est finie, tandis qu'une suite magnifique est infinie et impose le même test à chacun de ses préfixes de longueur n ≥ 2. Le cas (3, 3, 6, 12) tranche l'opposition : ses quatre termes établissent seulement que n = 4 ; pour le classer comme suite finie superbe, il faut aussi vérifier que chacun divise la somme totale 24. Une suite superbe peut être un préfixe d'une suite magnifique, mais cette prolongation doit encore satisfaire les tests suivants.

La longueur n = 1 est exclue par la définition : même si un unique entier positif divise sa propre somme, ce cas n'est pas appelé suite superbe. Il faut donc vérifier d'abord que la suite comporte au moins deux termes.

Les termes doivent être strictement positifs et entiers. Une valeur nulle ne peut pas servir de diviseur, et une valeur non entière sort du domaine défini. Enfin, il ne suffit pas que certains termes divisent le total : dans (3, 3, 6, 12), le 3 répété compte à chaque occurrence, et chaque terme doit passer le test. Pour une suite magnifique, le seuil charnière est n = 2 : tous les préfixes à partir de cette longueur doivent être superbes, pas seulement un préfixe choisi.

Pour replacer cette propriété dans l'histoire et les usages de la divisibilité, l'article Divisibilité dans les manuels du XIXe siècle offre un prolongement documentaire. Il permet de comparer le vocabulaire et les présentations de la divisibilité avec le test effectué ici sur la somme d'une suite.