Supergeometric convergence

Imaginez une suite de nombres qui s'approche d'une valeur cible. Avec une convergence ordinaire, l'écart peut diminuer sans le faire régulièrement ni de façon monotone ; avec une convergence supergéométrique, chaque nouvel écart dépend d'une puissance de l'écart précédent. Si cette puissance vaut 2 et que la constante C est de l'ordre de 1, un écart de 10⁻² peut laisser place à un écart de l'ordre de 10⁻⁴. Ce gain de chiffres est un ordre de grandeur, pas une conséquence automatique de q = 2. La méthode de Newton donne souvent ce comportement lorsqu'elle cherche une solution près d'une racine simple.

On étudie une suite (a_n) qui tend vers une limite L. Son erreur au rang n est e_n = |a_n − L|. On parle de convergence d'ordre q, avec q supérieur à 1, lorsque, pour une suite qui converge et dès que les erreurs sont non nulles, le rapport entre l'erreur suivante et la puissance q de l'erreur précédente tend vers une constante C strictement positive et finie :

Cette limite décrit le régime asymptotique, lorsque n devient grand, sans imposer une égalité exacte à chaque rang. Pour q = 2, on parle de convergence quadratique : l'erreur est alors approximativement mise au carré, à un facteur C près. Cette propriété caractérise fréquemment la méthode de Newton autour d'une racine simple, sous des hypothèses de régularité et lorsque l'itération reste dans une zone de convergence. Des algorithmes d'approximation de constantes, notamment de π, peuvent atteindre des ordres encore supérieurs ou des régimes ultrarapides.

Pour approcher √2 par la méthode de Newton, on part de x₀ = 1,5 et on utilise la relation qui remplace une approximation par la moyenne de celle-ci et de 2 divisée par celle-ci. Les données sont la cible 2, le point de départ 1,5 et la règle d'itération.

La première opération donne x₁ = (1,5 + 2/1,5)/2 = 17/12 ≈ 1,4166667.
La deuxième donne x₂ = (17/12 + 2/(17/12))/2 = 577/408 ≈ 1,4142157.
Avec L = √2, les erreurs valent e₀ ≈ 0,0857864, e₁ ≈ 0,00245310 et e₂ ≈ 0,00000212390.

L'écart passe donc d'environ 8,6 × 10⁻² à 2,5 × 10⁻³, puis à 2,1 × 10⁻⁶. Ce n'est pas une égalité exacte entre deux erreurs et leur carré : le facteur de proportionnalité varie encore avant le régime limite. Le contrôle consiste à remplacer chaque approximation dans x_n² − 2 : le résidu obtenu tend rapidement vers zéro.

La décroissance des trois erreurs calculées rend visible le passage à un régime très rapide : l'échelle verticale est logarithmique pour ne pas écraser les deux dernières valeurs.

En analyse numérique, on peut suivre l'erreur ou le résidu après chaque itération. Ils ne coïncident pas en général : une relation d'ordre observée sur le résidu ne permet d'inférer le même ordre pour l'erreur que si des hypothèses supplémentaires relient quantitativement résidu et erreur, par exemple des bornes d'équivalence locales. Le geste utile consiste à vérifier plusieurs rangs, car les premiers calculs peuvent encore être loin du régime asymptotique.

Pour résoudre une équation, la méthode de Newton est choisie lorsque la fonction est suffisamment régulière et qu'un point de départ convenable est disponible. Si la dérivée devient nulle ou si l'itération s'éloigne de la racine, une méthode plus robuste, comme une dichotomie encadrée, peut être préférable.

Pour calculer une constante, les formules à convergence ultrarapide réduisent fortement le nombre de termes nécessaires. Il faut toutefois contrôler l'erreur d'arrondi et le coût de chaque terme, car une vitesse asymptotique élevée ne garantit pas le meilleur temps dans toute implémentation.

La convergence supergéométrique ne se confond pas avec la convergence géométrique. Dans cette dernière, l'erreur est multipliée à chaque étape par un facteur fixe inférieur à 1, tandis que l'ordre supergéométrique q supérieur à 1 fait intervenir une puissance de l'erreur précédente. Pour trancher, on compare deux rapports successifs : un rapport e_n+1/e_n qui se stabilise suggère un régime géométrique, alors que le rapport e_n+1/e_n^q qui se stabilise suggère l'ordre q. Cette observation reste asymptotique et ne suffit pas sur un échantillon trop court.

Un ordre q supérieur à 1 n'est pas une promesse valable pour tout point de départ. Pour Newton, une dérivée nulle, une racine multiple ou un départ trop éloigné peuvent ralentir la convergence, provoquer une stagnation ou faire diverger l'itération. Le symptôme observable est que le rapport e_n+1/e_n^q ne se stabilise pas, ou que l'erreur augmente. Il faut alors vérifier les hypothèses locales, encadrer la recherche ou choisir une méthode plus robuste. Même dans le cas quadratique, « doubler le nombre de chiffres » décrit un régime approximatif, non un seuil garanti à chaque étape. Enfin, une suite peut converger très vite après quelques rangs sans être d'ordre q dès ses premiers termes ; l'ordre concerne le comportement au voisinage de la limite.

L'étude de la convergence supergéométrique ouvre vers la théorie de l'ordre des méthodes itératives. On peut comparer une méthode par son ordre q, mais aussi par la constante C, le coût d'une itération et la stabilité des calculs en précision finie. Les algorithmes d'approximation de π mentionnés dans la définition illustrent un autre compromis : une formule peut gagner beaucoup de chiffres par étape tout en demandant des opérations plus lourdes. La notion d'ordre fournit donc un indicateur local de vitesse, pas un classement universel des algorithmes.